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NUMERI COMPLESSI Patti Maurizio:. Unità immaginaria Però nulla impedisce di creare un nuovo numero (naturalmente non reale) il quale, elevato al quadrato.

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1 NUMERI COMPLESSI Patti Maurizio:

2 Unità immaginaria Però nulla impedisce di creare un nuovo numero (naturalmente non reale) il quale, elevato al quadrato dia proprio -1. Questo numero si chiama unità immaginaria e si indica con la lettera i. Nellinsieme dei numeri reali nessun numero elevato al quadrato dà un numero negativo. In particolare, nessun numero reale elevato al quadrato dà -1. Si ha dunque per definizione: i 2 =

3 Numero immaginario Se b è un numero reale il prodotto indicato b*i si chiama numero immaginario b prende il nome di coefficiente del numero immaginario Per questi prodotti si conserva la proprietà commutativa bi = ib. I numeri bi e -bi si dicono numeri immaginari opposti

4 Potenze di i Per le potenze di i si ha: i 0 = 1 i 1 = i i 2 = -1 i 3 = -i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = -1 i 7 = -i i 8 = 1 i 9 = i ecc. cioè le prime quattro potenze di i si riproducono indefinitivamente nello stesso ordine. Esempio

5 Operazioni con i numeri immaginari Laddizione e la sottrazione di due numeri immaginari dà come risultato un numero immaginario ai + bi = (a + b)i ai - bi = (a - b)i Il prodotto e il quoziente sono numeri reali ai * bi = a * b * i2 i2 = a * b*(-1) = -ab ai : bi = (a : b) * (i : i) = (a : b) * 1 = a : b In particolare, il quadrato di un numero immaginario è un numero reale negativo. (ai) 2 = a 2 * i2 i2 = * (-1) = -a 2 Nellinsieme dei numeri immaginari si può estrarre la radice quadrata da un numero negativo Esempio

6 Numeri complessi a si dice parte reale b si dice coefficiente dellimmaginario. Lespressione a + ib viene denominata: forma algebrica del numero complesso Indichiamo con C linsieme dei numeri complessi (a + ib) con C r linsieme dei numeri complessi reali (a + i0) con C i linsieme dei numeri complessi immaginari (0 + ib) con R linsieme dei numeri reali (a) Siano a e b due numeri reali. La somma indicata z = a + ib si dice numero complesso.

7 a + ib R a + i0 0 + ib C a Esiste una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi C r e R che conserva le operazioni di addizione e moltiplicazione. C i C r

8 Due numeri complessi si dicono uguali quando hanno rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti degli immaginari a + ib = c + id se a = c e b = d Se ciò non si verifica i numeri si dicono disuguali, ma non si può stabilire tra loro la relazione di maggiore e minore. Per un numero complesso non ha luogo la nozione di positivo o negativo Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale ed opposti i coefficienti dellimmaginario si dicono complessi coniugati Esempio

9 Operazione con i numeri complessi La somma di due o più numeri complessi è il numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali e per coefficiente dellimmaginario la somma dei coefficienti delle parti immaginarie. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i La somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale (a + ib) + (a - ib) = (a + a) + (b - b)i = 2a Esempio

10 La differenza di due numeri complessi coniugati è un numero immaginario (a + ib) - (a - ib) = (a - a) + (b + b)i = 2bi Due numeri complessi si dicono opposti quando sono opposte sia la parte reale che quella immaginaria a + ib -a - ib Per differenza di due numeri complessi si intende la somma del primo e dellopposto del secondo (a + ib) - (c + id) = (a + ib) + (-c - id) = (a - c) + (b - d)i Esempio

11 Il prodotto di due numeri complessi è il numero complesso che si ottiene moltiplicando termine a i due fattori. (a + ib) * (c + id) = ac + iad + ibc + i2 i2 bd = = (ac - bd) + (ad + bc)i. In particolare, il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale che prende il nome di norma (a + ib) * (a - ib) = a2 a2 - b2i2 b2i2 = a2 a2 + b2b2 La potenza di un numero complesso viene calcolata mediante le stesse regole che permettono di determinare le potenze dei binomi (a + ib) 2 = a2 a2 + 2iab + b 2 i 2 = (a 2 - b 2 ) + 2iab (a + ib) 3 = a3 a3 + 3ia 2 b + 3ab 2 i 2 + b3i3 b3i3 = =(a 3 - 3ab 2 ) + (3a 2 b - b 3 )i Esempio

12 Due numeri complessi si dicono reciproci quando il loro prodotto è uguale ad 1 Il reciproco di un numero complesso a + ib è a a 2 + b2b2 Il quoziente di due numeri complessi è il numero che si ottiene moltiplicando il primo per il reciproco del secondo a + ib c + id = (a + ib) c - id c 2 + d2d2 Coniugato Norma Esempio

13 Esercizi Eseguire le operazioni (1 - i)(1 + i) - (3 + 2i)(3 - 2i) + i 11 = i 3 = i 2 + i i 17 = (2 + i) * 4 - i = i + 4i = i = = 9 2i = i 17

14 Forma matriciale di un numero complesso Dato il numero complesso a + ib ib si chiama forma matriciale del numero complesso dato, la matrice quadrata: Ad esempio al numero complesso 3 – 2i 2i corrisponde la matrice:

15 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi I numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente: - mediante punti di un piano - mediante vettori

16 Rappresentazione mediante i punti del piano Fissiamo nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy y x O Al numero complesso z = a + bi facciamo corrispondere il punto P(a;b) b a Rimane così fissata una corrispondenza biunivoca tra linsieme dei numeri complessi e linsieme dei punti del piano. Ai punti dellasse x (asse reale) corrispondono i numeri reali; a quelli dellasse y (asse immaginario) corrispondono i numeri immaginari. Il punto P(a;b) viene chiamato immagine di z;z; il numero z viene chiamato affissa di P.P. Il piano in cui vengono rappresentati i numeri complessi viene chiamato piano di Gauss.

17 Rappresentazione mediante vettori Fissiamo ancora nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy. y x O Al numero z = a + bi facciamo corrispondere il vettore OP; al vettore OP facciamo corrispondere il numero z = a + bi b a P(a;b) Il vettore OP viene chiamato vettore rappresentativo del numero complesso z.z. Esempio

18 Rappresentazione vettoriale della somma di due numeri complessi Siano z 1 = a + bi e z 2 =a + b i due numeri complessi, P 1 (a;b) e P 2 (a ;b ) i loro punti immagine, OP 1 e OP 2 i rispettivi vettori rappresentativi y x O b a P1P1 b a P2P2 Al vettore OP, somma dei due vettori OP 1 e OP 2 corrisponde il numero complesso z, somma dei numeri complessi z 1 e z 2 a+a b+b P Anche al vettore d differenza di due vettori v1 v1 e v 2, corrisponde il numero complesso differenza dei due numeri complessi corrispondenti a v1 v1 e v 2 : d = v1 v1 - v 2 = v1 v1 + (-v 2 ) la differenza si riduce quindi al caso della somma.

19 Fine

20 Modulo ed argomento di un numero complesso Sia z = a + bi un numero complesso, P(a;b) la sua immagine e v = OP il vettore rappresentativo; sia la distanza del punto P dallorigine, langolo che il vettore forma con il semiasse positivo reale x y 0 a b P(a;b) Il numero viene chiamato modulo ed il numero argomento del numero complesso z. Si ha immediatamente : a = cos b = sen

21 Forma trigonometrica di un numero complesso Dato il numero complesso a + bi si ha: a + bi = cos + i sen = (cos + i sen ) lespressione (cos + i sen ) si dice FORMA TRIGONOMETRICA del numero complesso Esempio

22 Operazioni con numeri complessi sotto forma trigonometrica Prodotto Potenza Reciproco Quoziente

23 Radici n-esime di un numero complesso Si chiama radice n-esima di un numero complesso z = (cos + i sen ) ogni numero complesso w che elevato ad n dà z [r(cos + i sen )] n = (cos + i sen ) r n (cos n + i sen n ) = (cos + i sen ) quindi: r n = n = + 2k Esempio

24 Forma esponenziale di un numero complesso Un numero complesso z = (cos + i sen ) può essere scritto sotto la seguente forma, detta esponenziale: Ad esempio:

25 FINE

26 Calcolare le radici quarte del numero

27 Determinare le radici quarte dellunità. Essendo: = 1 e = 0°+ k360° risulta 1= cosk360°+isenk360° e quindi: Ritorna Le quattro radici dellunità sono dunque: z 0 = cos0°+isen0° = 1 z 1 = cos90°+isen90° = i z 2 = cos180°+isen180° = -1 z 3 = cos270°+isen270° = -i

28 Dato il numero complesso + i scriverlo sotto forma trigonometrica Dato il numero complesso 4(cos 120° + i sen 120°) scriverlo sotto forma algebrica Ritorna

29 Prodotto Dati due numeri complessi (cos + isen ) e '(cos ' + isen ') il loro prodotto è (cos + isen ) '(cos ' + isen ') = = ' (cos cos ' + i cos sen ' + i sen cos ' – sen sen ' ) = = '[(cos cos ' – sen sen ' ) + i(cos sen ' + sen cos ')] = = [cos( + ') + i sen( + ')] Il prodotto di due numeri complessi sotto forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti EsempioRitorna

30 Potenza n-esima di un numero complesso Se applichiamo la regola del prodotto tra numeri complessi sotto forma trigonometrica ad n fattori tutti uguali a (cos + isen ) si ottiene la formula di MOIVRE [ (cos + isen )] n = n (cos n + isen n ) La potenza n-esima (con n intero) di un numero complesso non nullo è un numero complesso che ha per modulo la potenza n-esima e per argomento n volte largomento della base EsempioRitorna

31 Reciproco di un numero complesso Il reciproco del numero complesso non nullo z = (cos + isen ) ha per modulo il reciproco del modulo di z e per argomento lopposto dellargomento di z Infatti EsempioRitorna

32 Quoziente Dati due numeri complessi (cos + isen ) e '(cos ' + isen ') il quoziente si ottiene Il quoziente di due numeri complessi sotto forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti EsempioRitorna

33 Calcolare: 3(cos25° + isen25°)·4(cos15° + isen15°) = 12(cos40° + isen40°) 2(cos15° + isen15°)·5(cos35° + isen35°) = 10(cos50° + isen50°) Ritorna

34 Calcolare [3(cos30° + isen30°)] 5 = 3 5 (cos 5·30° + isen 5·30° ) = = 243(cos150° + isen150°) [2(cos20° + isen20°)] 3 = 2 3 (cos 3·20° + isen 3·20° ) = = 8(cos60° + isen60°) Ritorna

35 Il reciproco del numero 3(cos 25° + isen 25°) è Il reciproco del numero 5(cos 30° + isen 30°) è Ritorna

36 Calcolare Ritorna

37 i 14 = ? 14 : 4 = 3 con il resto di 2 quindi i 14 = i2 i2 = i 12 = ? 12 : 4 = 3 con il resto di 0 quindi i 12 = i0 i0 = 1 Ritorna

38 3i + 4i = (3 + 4)i = 7i - 9i = (7 - 9)i = -2i 4i * (-3i) = -12i 2 = -12*(-1) = 12 3i : 4i = 3/4 (2i) 3 = 2 3 * i 3 = 8 * (-i) = -8i Ritorna

39 Sono uguali i numeri 2 - 3i i i Sono complessi coniugati i numeri 3 - 2i i i Ritorna

40 (3 + 2i) + (-1 + 4i) = (3 - 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i (2 - 4i) + (-5 + i) + i = (2 - 5) + ( )i = i (-3 + 7i) + (3 - 7i) = (-3 + 3) + (7 - 7)i = 0 (6 + 5i) + (6 - 5i) = (6 + 6) + (5 - 5)i = 12 Ritorna

41 Sono opposti i numeri 1 - 3i + 3i -5 + i 5 - i Ritorna Differenze (4 - 3i) - (5 + 7i) = (4 -5) + (-3 - 7)i = - 10i (5 - 2i) - (5 + 2i) = (5 - 5) + (-2 - 2)i = -4i

42 (2 - 5i) * (-1 + 2i) = ( ) + (4 + 5)i = 8 + 9i (-7 + i)i = - 7i (-5 + 3i) * (-5 - 3i) = =34 (2 - 3i) 2 = i + 9i 2 = (4 - 9) - 12i = i (1 + 2i) 3 = 1 + 6i + 12i 2 + 8i 3 = (1 -12) + (6 - 8)i = i Ritorna

43 Reciproci il reciproco di 7 - 2i è 7 + 2i = i = i = i Divisioni Ritorna

44 Trovare il punto immagine ed il vettore rappresentativo del numero complesso z = 2 - 3i y x P(a;b) Ritorna


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