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1. La lezione di oggi Scalari Vettori Operazioni tra vettori 2.

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Presentazione sul tema: "1. La lezione di oggi Scalari Vettori Operazioni tra vettori 2."— Transcript della presentazione:

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2 La lezione di oggi Scalari Vettori Operazioni tra vettori 2

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4 Scalari Ci sono delle grandezze fisiche che possono essere rappresentate con un numero, espresso in unopportuna unità di misura. Si tratta di grandezze scalari. Uno scalare può avere segno positivo o negativo Esempi: Il volume di un oggetto. Volume di un dado: 3.7 cm 3 Volume del liquido in una siringa: 10 ml La temperatura in una stanza: T=20 o C La potenza di una lampadina: P=20 W 4

5 5 Scusi, sa dovè la biblioteca ? Sì Sì, a 0.5 km Sì, a 0.5 km in direzione nord-ovest

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7 7 Vettori Un vettore è una grandezza matematica definita da modulo, direzione e verso Come lo scalare, rappresenta una grandezza fisica con la sua unità di misura Esempi di grandezze vettoriali: Velocità Accelerazione Si indica con v o Il modulo si indica con v o

8 8 Modulo: 0.5 km

9 9 Direzione: verticale

10 10 Verso: Nord

11 11 Esercizio Indicare modulo, direzione e verso del vettore indicato in figura. La velocità del vento è pari a v = 25 km/h Soluzione modulo: 25 km/h direzione: orizzontale verso: OVESTNE S W

12 12 Un vettore Origine (o punto di applicazione) Vertice

13 13 I versori Modulo: unitario (ad esempio, 1 m) Direzione: orizzontale Verso: da sinistra a destra Modulo: unitario (ad esempio, 1 m) Direzione: verticale Verso: dal basso verso lalto

14 Versori coordinati 14 x y z Terna destrorsa x y z Terna sinistrorsa

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16 16 Prodotto di un vettore per uno scalare Vettore × Scalare = Vettore con: uguale direzione verso: uguale o opposto (dipende dal segno dello scalare) modulo pari al prodotto dei moduli 3A = A+A+A = 3 x A -3A = (-3) x A

17 17 Componenti r x PROIEZIONE di r sullasse x r y PROIEZIONE di r sullasse y

18 18 L e componenti di un vettore

19 19 Vettore posizione nello spazio Vettore posizione: Indica la posizione di un oggetto (fermo o in movimento) rispetto allorigine di un sistema di riferimento.. Vedremo che velocità e accelerazione possono essere espresse a partire dal vettore posizione

20 20 Esempio 1 Determinare le componenti di un vettore con modulo 3.5 m e direzione 66 ° Dunque il vettore si può esprimere come:

21 21 Esempio 2 Determinare modulo e direzione di un vettore con componenti A X =1.4 m e A y =3.2 m Il modulo del vettore sarà: Langolo si ottiene da:

22 22 Uno stormo di anatre si è spostato di 30 km, come mostrato in figura = 30°) Determinare lo spostamento verso Nord e verso Est. Esercizio O A S S est S nor dNE S W

23 23 Soluzione = spostamento dello stormo = 30 km O = origine del vettore, da cui partono le due semirette dirette verso nord e verso est Si costruisce il parallelogrammo (rettangolo) avente una diagonale individuata dal vettore ed i lati diretti secondo le due semirette. O A S S est S nor dNE S W Esercizio |S| S = S est + S nord S nord = S sin km S est = S cos km

24 24 n. 38, pag. M88 Walker Si immagini di spingere una scatola su una rampa di carico lunga 10.0 m. In cima alla rampa la scatola ha raggiunto laltezza di 3.00 m. Quanto misura langolo formato dalla rampa con il piano ? Soluzione Simposta il sistema: da cui si ricava e infine y s Esercizio

25 25 Nota sul piano inclinato… Gli Egizi e le piramidi Piramide = piano inclinato Il piano inclinato rende più agevole lo spostamento dei carichi (blocchi di pietra). Chi spinge il carico sul piano, infatti, deve vincere solo la componente parallela al piano, ottenuta proiettando P lungo la direzione del piano inclinato. P

26 26 Convenzioni 1 o quadrante2 o quadrante 3 o quadrante4 o quadrante Verso antiorario partendo dallasse x

27 27 Convenzioni A x >0, A y >0 I quadrante

28 28 Convenzioni A x 0 II quadrante

29 29 Convenzion i A x <0, A y <0 III quadrante

30 30 Convenzioni A x >0, A y <0 IV quadrante

31 31 Somma di vettori

32 32 Somma di vettori

33 33 Somma di vettori Un vettore è definito da MODULO, DIREZIONE, VERSO indipendentemente dalla sua posizione

34 34 Somma di vettori

35 35 La somma tra vettori è indipendente dallordine con il quale i vettori vengono sommati

36 36 Esempio di somma di vettori Un aereo vola da Bari a Roma AB = 388 km quindi laereo vola da Roma a Milano BC = 472 km Lo spostamento risultante rispetto allaeroporto di Bari è dato dalla posizione iniziale e da quella finale, ossia dal vettore che congiunge Bari con Milano AC = 740 km MILANO ROMA BARI C B A vettore risultante uguale somma vettori ma Modulo vettore risultante diverso somma dei moduli delle componenti* (*) AB+BC=( )km=860 km

37 37 Esercizio Una barca viene trainata per mezzo di una fune da due persone che camminano parallelamente, lungo le rive opposte di un canale. Sapendo che: = 60° e che la forza esercitata da ciascun uomo = 577 N Determinare la forza necessaria per trainare la barca. /2

38 38 Esempio di somma di vettori: Soluzione : = 60° forza esercitata da ciascun uomo = 577 N = OA = OB OH = OA cos ( cos ( forza per trainare la barca = 2 OH = 1000 N = OO O B A H O /2

39 39 Lopposto di un vettore è un vettore con uguale modulo e direzione, ma verso opposto

40 40 Differenza di vettori

41 41 Una importante convenzione Useremo sempre la convenzione Primo indice (a): origine del vettore Secondo indice (b): vertice del vettore

42 42 Prodotto scalare A B Il risultato è uno scalare Vale la proprietà commutativa Si chiama anche prodotto interno Corollari:

43 Prodotto scalare Se, in coordinate cartesiane, due vettori hanno componenti: Il prodotto scalare vale: Quindi: 43

44 44 Prodotto vettoriale A B Il risultato è un vettore con: Modulo = A B sen Direzione perpendicolare al piano identificato da A e B Verso dato dalla regola della mano destra (vedi dopo) Vale la proprietà anticommutativa Si chiama anche prodotto esterno Oppure, con altra notazione

45 45 Regola della mano destra Prendo la mano destra e metto pollice, indice, medio a 90 o luno rispetto allaltro Lindice indica il verso del vettore A Il medio indica il verso del vettore B Il pollice indica il verso del vettore C Nota: devo usare la mano destra (non la sinistra) e non devo scambiare lordine dei vettori Nota: vale anche per tutte le permutazioni cicliche, ovvero vale anche: Il pollice indica il verso del vettore A Lindice indica il verso del vettore B Il medio indica il verso del vettore C

46 Prodotto vettoriale / 2 46 In coordinate cartesiane, il prodotto vettoriale si ottiene valutando il seguente determinante simbolico:

47 Versori coordinati 47 x y z Terna destrorsa x y z Terna sinistrorsa In una terna destrorsa si ha sempre:


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