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Scattering in Meccanica Quantistica. Sommario Trattazione indipendente dal tempo dello scattering Sviluppo in onde parziali Teorema ottico Regola doro.

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Presentazione sul tema: "Scattering in Meccanica Quantistica. Sommario Trattazione indipendente dal tempo dello scattering Sviluppo in onde parziali Teorema ottico Regola doro."— Transcript della presentazione:

1 Scattering in Meccanica Quantistica

2 Sommario Trattazione indipendente dal tempo dello scattering Sviluppo in onde parziali Teorema ottico Regola doro e scattering Esempio: potenziale di Yukawa Scattering elastico ed anelastico Fabrizio Bianchi2

3 Formule Utili Formule di Eulero Ortonormalita dei Polinomi di Legendre 3Fabrizio Bianchi

4 Scattering in MQ Diversi modi di descrivere i processi di collisione/decadimento: Modo indipendente dal tempo – Descrizione in termini di stati di scattering, analoghi a quelli stazionari – Soluzione dellequazione di Schroedinger, sviluppo in onde parziali Modo dipendente dal tempo – Descrizione in termini di evoluzione temporale – Applicazione della regola doro Fabrizio Bianchi4

5 Trattazione Indipendente dal Tempo (1) Diffusione di una particella da un potenziale di range finito. – A grande distanza gli stati asintotici saranno stati di particella libera. Fascio incidente ha direzione e momento ben definiti: onda piana progressiva lungo lasse z: e ikz Scattering elastico: cambiamento di direzione della particella incidente conservando lenergia. Fascio diffuso non ha una direzione particolare, ma conserva il modulo del momento del fascio incidente. Puo essere rappresentato da unonda sferica uscente dal centro di diffusione: e ikr /r Soluzione dellequazione di Schroedinger sara una combinazione lineare dellonda incidente e quella diffusa: Fabrizio Bianchi5

6 Trattazione Indipendente dal Tempo (2) f( ) Ampiezza di Scattering, [L] Probabilita per unita di tempo che la particella diffonda nellelemento di superficie dS=r 2 d e dato dal flusso per dS (ossia | | 2 per la velocita v per dS): Dividendo per v (flusso onda incidente) si ha la sezione durto differenziale: Fabrizio Bianchi6

7 Sviluppo in Onde Parziali (1) Soluzione generale dellequazione di Schroedinger in potenziale centrale, richiedendo simmetria assiale attorno allasse z (direzione particelle incidenti): P l sono i polinomi di Legendre. Le funzioni radiali R l sono soluzioni delleq. radiale: Per kr>>1, hanno la forma asintotica: Fabrizio Bianchi7

8 Sviluppo in Onde Parziali (2) Lo sviluppo della slide 6 corrisponde ad analizzare lo stato di scattering in autostali del momento angolare L. Possiamo scrivere: Un onda piana, nel limite asintotico si puo scrivere come: Daltro canto dallespressione di della slide 4: Fabrizio Bianchi8

9 Sviluppo in Onde Parziali (3) Quindi: Fabrizio Bianchi9 Ponendo A l =i l e l Da cui:

10 Sviluppo in Onde Parziali (4) Lampiezza di scattering e completamente determinata dagli sfasamenti l, a loro volta determinati dal potenziale. Il processo di scattering e descritto da un insieme (in principio infinito) di ampiezze parziali ognuna corrispondente ad un particolare valore di l. Lampiezza l-esima e data da: La sezione durto totale : diventa, sfruttando la relazione di ortonormalita dei polinomi di Legendre,: Fabrizio Bianchi10

11 Sviluppo in Onde Parziali (5) Poiche: Fabrizio Bianchi11

12 Regola dOro e Scattering (1) Probabilita di transizione per unita di tempo: Stati iniziale e finale: Onde piane Fabrizio Bianchi12

13 Regola dOro e Scattering (2) Caso di diffusione elastica da un potenziale fisso Sezione durto differenziale: Eventualmente: Generalizzazione – Numeratore – Prob. di trans./Unita' di ang. solido, Energia,..., Unita' di tempo Es. Onde piane con direzione entro d a ( ) Fabrizio Bianchi13

14 Regola dOro e Scattering (3) Probabilita di transizione verso un gruppo di stati del continuo: Fabrizio Bianchi14

15 Regola dOro e Scattering (4) Esempio: scattering elastico: Fabrizio Bianchi15

16 Regola dOro e Scattering (5) Fabrizio Bianchi16

17 Esempio: Potenziale di Yukawa (1) Fabrizio Bianchi17

18 Esempio: Potenziale di Yukawa (2) Fabrizio Bianchi18

19 Esempio: Potenziale di Yukawa (3) Fabrizio Bianchi19

20 Scattering fra Particelle Esempio considerato: interazione particella – potenziale Esempi piu realistici: interazione particella – particella Regole generali per collisioni non relativistiche: Conservazione/Non conservazione energia cinetica totale – Scattering elastico/anelastico Conservazione quantita di moto totale Conservazione mom. angolare totale: – Scattering: Stati iniziale e finale non hanno di solito mom. angolare definito – Decadimenti: Stati iniziale e finale hanno mom. angolare definito Fabrizio Bianchi20

21 Scattering Elastico vs Anelastico Per collisioni e decadimenti in approssimazione non relativistica Scattering elastico: – Lo stato interno di proiettile e bersaglio restano invariati nella collisione – Conservazione della massa – Conservazione dellenergia totale (cinetica) – Conservazione della quantita di moto totale Scattering anelastico: – Lo stato interno di proiettile e/o bersaglio cambia nella collisione – Conservazione della massa – Conservazione dellenergia totale (cinetica+potenziale) – Conservazione della quantita di moto totale Fabrizio Bianchi21


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