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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE. DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15 2 1.LE.

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1 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

2 DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / LE FUNZIONI SENO E COSENO e sia B il punto della circonferenza associato ad. Definiamo coseno e seno di, e indichiamo con cos e sen : cos = x B, sen = y B. e un angolo orientato,

3 Circonferenza di raggio unitario LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / LE FUNZIONI SENO E COSENO Indichiamo con (x; y) le coordinate di B. Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi x = cos Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. y = sen Scopriamo che: e e quindi sen e cos non dipendono dalla particolare circonferenza considerata, ma solo dallangolo.

4 Triangoli rettangoli cos =rapporto tra il cateto adiacente allangolo e lipotenusa. Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / LE FUNZIONI SENO E COSENO sen =rapporto tra il cateto opposto allangolo e lipotenusa. Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli.

5 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO Costruiamo il grafico delle funzioni y = sen x e y = cos x in [0; 2 ] riportando sullasse x i valori degli angoli e sullasse y le coordinate dei punti della circonferenza goniometrica. PROPRIETÀ In particolare si verifica che: –1 sen x 1 ; –1 cos x 1 ; cos x = cos (–x) ; sen x = –sen (–x).

6 Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide. I due grafici differiscono per una traslazione di /2. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15 6 sen (x + 2) = sen x = sen (x + 4) =..., cos (x + 2) = cos x = cos (x + 4) = …, 3.SINUSOIDE E COSINUSIDE cioè sen (x + 2k ) = sen x, cos (x + 2k ) = cos x. Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2. 2

7 mentre, se è noto sen,. Da cui, se è noto cos,, LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE Prima relazione fondamentale della goniometria cos 2 + sen 2 = 1

8 DEFINIZIONE Tangente Consideriamo un angolo orientato, e sia B il punto della circonferenza associato ad. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / LA FUNZIONE TANGENTE Definiamo tangente di il rapporto, quando esiste, tra lordinata e lascissa di B:.

9 Un altro significato geometrico Consideriamo il cerchio goniometrico e la sua tangente t. Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / LA FUNZIONE TANGENTE Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. Triangolo rettangolo tg = rapporto tra il cateto opposto allangolo e il cateto adiacente. tg = ordinata di T.

10 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE TANGENTE Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0; ] riportando sullasse x i valori degli angoli e sullasse y lordinata del punto T. PROPRIETÀ In particolare si verifica che: tg x tende a + o – quando x si avvicina a /2, tg x = – tg (–x).

11 Il grafico completo della funzione tangente si chiama tangentoide. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15 11 tg ( + ) = tg = tg ( + 2) =... 7.LA TANGENTOIDE cioè tg ( + k ) = tg. La funzione tangente è periodica di periodo.

12 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE Seconda relazione fondamentale della goniometria, y B = sen, x B = cos,.

13 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / ESERCIZI: SENO E COSENO Disegna, utilizzando la circonferenza goniometrica, gli angoli a cui corrispondono i seguenti valori.

14 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / ESERCIZI: SENO E COSENO Calcola il valore della funzione indicata, utilizzando le informazioni fornite.

15 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / ESERCIZI: LA TANGENTE Per ogni angolo a in figura, individua tg, quando esiste, sulla retta tangente alla circonferenza. Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli.

16 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE / ESERCIZI: LA TANGENTE Calcola il valore di tg, usando le informazioni fornite.


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