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G.Gagliardi Fisica 1 Vettori Finche il moto si svolge in una sola dimensione – moto unidimensionale, moto rettilineo – non abbiamo bisogno di vettori La.

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1 G.Gagliardi Fisica 1 Vettori Finche il moto si svolge in una sola dimensione – moto unidimensionale, moto rettilineo – non abbiamo bisogno di vettori La posizione e individuata dato il sistema di riferimento, e cosi pure tutte le altre grandezze del moto. Posizione, velocita e accelerazione sono individuate da numeri con un segno, che indica misura (grandezza), direzione (lungo la retta del sistema di riferimento) e verso (positivo se in direzione della freccia del sistema di riferimento, negativo se in direzione opposta). Quando il moto si svolge in piu dimensioni – due o tre, fisicamente parlando – occorre un modo per specificare posizione, velocita e accelerazione, e specificarne grandezza, direzione e verso. Luso dei vettori consente di descrivere facilmente grandezze fisiche caratterizzate da misura – grandezza – direzione e verso.

2 G.Gagliardi Fisica 2 Sistema di riferimento cartesiano Come nel caso del moto unidimensionale, la prima cosa e avere un sistema di riferimento Una possibilita e scegliere un sistema di riferimento cartesiano, composto da tre assi perpendicolari tra di loro Non e lunica scelta, ed infatti vedremo altri sistemi di riferimento – cilindrico, sferico… Ogni asse ha il suo verso, la sua direzione e la sua unita di misura Lorigine O e data dal punto di congiunzione degli assi Gli assi del sistema di riferimento sono convenzionalmente chiamati x, y, z e sono convenzionalmente ordinati (costituiscono una terna ordinata) seguendo le dita della mano destra x pollice, y indice e z medio Si, e lo stesso ordine del prodotto vettoriale, non a caso… x y z O

3 G.Gagliardi Fisica 3 Vettore posizione Dato un sistema di riferimento e possibile determinare la posizione di un corpo. Il vettore posizione x e rappresentato da una freccia che congiunge lorigine con il punto in cui il corpo e situato Non ce niente di speciale nellusare la lettera x per la posizione. Viene usata spesso anche la lettera r, ma ogni altra lettera puo essere usata. Invece e importante usare il grassetto o una freccettina sopra la lettera, per indicare che stiamo parlando della posizione come di una grandezza vettoriale La posizione x e misurata in metri. La misura della grandezza posizione e data dalla lunghezza del vettore posizione O viceversa, la lunghezza del vettore posizione e il valore della grandezza posizione x y z NO x y z SI x R a

4 G.Gagliardi Fisica 4 Coordinate E possibile definire una posizione anche come un insieme ordinato di coordinate x (x1, x2, x3) x (x1, x2, x3) – intendo dire che sono due modi equivalenti di indicare la stessa grandezza x1 rappresenta la proiezione ortogonale del vettore x lungo lasse delle x, x2 rappresenta la proiezione ortogonale del vettore x lungo lasse delle y e x3 rappresenta… Date le coordinate e possibile disegnare un vettore Dato il vettore disegnato e possibile disegnare le coordinate Un valore di x1, x2 e/o x3 uguale a zero significa che il vettore x: Non ha componenti lungo lasse x, y e/o z E perpendicolare allasse x, y e/o z Giace sul piano y-z, x-z, y-z oppure e lungo la retta x, y, z, oppure e nullo Con i vettori si descrive un modello, con le coordinate si fanno i conti

5 G.Gagliardi Fisica 5 Coordinate Primo conto: grandezza del vettore (posizione, ma e in generale) |x| = (x1 2 + x2 2 + x3 2 ) Secondo conto: angolo che il vettore forma con lasse x tg = (x2 2 + x3 2 )/x1 In due dimensioni diventa tg = x2/x1 Terzo conto: somma o differenza di vettori x + y = z z (z1, z2, z3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3) x - y = w w (w1, w2, w3) = (x1-y1, x2-y2, x3-y3) Se usiamo i versori i, j, k (vettori unitari – di lunghezza 1 - lungo lasse x, y e z) la scrittura x (x1, x2, x3) diventa piu coerentemente x = (i x1 + j x2 + k x3)

6 G.Gagliardi Fisica 6 Vettore spostamento Lo spostamento e sempre definito come la differenza tra due posizioni in due momenti differenti di tempo: in formule x(t 2,t 1 ) = x(t 2 ) – x(t 1 ) La differenza tra due vettori e ancora un vettore Dati due vettori posizione x e a disegnati, possiamo disegnare lo spostamento x-a (da a a x) e a-x (da x a a) I vettori x-a e a-x hanno la stessa direzione e grandezza, ma verso opposto x y z x a a-x x y z x a x-a

7 G.Gagliardi Fisica 7 Vettore spostamento Il vettore spostamento da a a x puo essere disegnato anche con gli estremi alle due punte di freccia dei vettori x-a In effetti mentre a e x dipendono dal sistema di riferimento, lo spostamento x-a non dipende dal sistema di riferimento. Mentre le coordinate dei vettori a e A sono diverse, cosi come sono diverse le coordinate dei vettori x e X, le coordinate dei vettori x-a e X-A sono uguali. x y z X A x y z a x X-A x-a

8 G.Gagliardi Fisica 8 Traiettoria Linsieme dei punti occupati dal corpo durante il suo moto x(t) al variare del tempo e chiamato traiettoria. Una traiettoria rettilinea nello spazio puo essere scritta x(t) = x0 + a t x1 Una traiettoria circolare nel piano x-y puo essere scritta x(t) = i r sin( t) + j r cos ( t) Una traiettoria parabolica puo essere scritta nel piano x-z x(t) = i (x 0 + v x0 t )+ k (z 0 + v z0 t + g t 2 ) In generale la traiettoria puo essere scritta come x(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k E possibile una volta nota la traiettoria scomporla in piu moti unidimensionali – comodo per fare i conti. proiezione della posizione del punto sugli assi, ovvero posizione lungo lasse x, ovvero moto lunto Ad esempio il moto con una traiettoria parabolica puo essere scomposto in due equazioni – sistema di equazioni – in formule: x(t) = x 0 + v x0 t z(t) = z 0 + v z0 t + g t 2 Una traiettoria puo essere scritta come una serie di spostamenti. al limite gli spostamenti diventano infinitesimali al limite gli spostamenti sono tangenti alla traiettoria

9 G.Gagliardi Fisica 9 Velocita Avendo lo spostamento possiamo definire la velocita istantanea vettoriale come la derivata dello spostamento rispetto al tempo In formule: v(t) = d x(t)/dt Visivamente: dx rappresenta un piccolo spostamento, e al limite e tangente alla traiettoria del moto. La velocita istantanea vettoriale e sempre tangente alla traiettoria. Si disegna come una freccia orientata che ha origine nel corpo – scrittura di comodo, non formale facendo i conti e possibile determinare il valore delle componenti della velocita derivando le componenti della traiettoria In formule v(t) = dx(t)/dt i + dy(t)/dt j + dz(t)/dt k v x i + v y j + v z k si assume che i versori i, j, k siano costanti Come nel caso unidimensionale possiamo definire la velocita vettoriale media, e la velocita scalare media e istantanea v m = (x(t 2 ) – x(t 1 ))/(t 2 – t 1 ) vscalare m = |d(x(t))| /T vscalare = |d x(t)|/dt

10 G.Gagliardi Fisica 10 Accelerazione Laccelerazione e la derivata della velocita Accelerazione istantanea a(t) = d(v(t))/dt Accelerazione media a m = dt d(v(t))/dt / dt = (v(t 2 ) – v(t 1 ))/(t 2 – t 1 ) facendo i conti abbiamo le stesse formule che abbiamo trovato per la velocita: a(t) = dv x (t)/dt i + dv y (t)/dt j + dv z (t)/dt k Visivamente ce una differenza: laccelerazione non e sempre tangente alla traiettoria Si introduce il concetto di accelerazione tangenziale e accelerazione centripeta Laccelerazione tangenziale e orientata lungo la tangente e il suo valore e quello della variazione della velocita scalare (del modulo della velocita). Conseguentemente se il moto si svolge a velocita in modulo costante – come per esempio nel moto circolare uniforme – laccelerazione tangenziale e nulla. Laccelerazione centripeta e orientata perpendicolarmente alla traiettoria, lungo il raggio del cerchio osculatore e di modulo v 2 /R

11 G.Gagliardi Fisica 11 Accelerazione tangenziale e centripeta La velocita e sempre orientata lungo la tangente alla traiettoria In formule: v(t) = (t) v(t) v(t) e il modulo del vettore velocita (t) e il vettore di modulo costante e unitario tangente alla Per esempio, nel caso del moto circolare uniforme, possiamo scrivere (t) = i cos( t) – j sin( t) Laccelerazione formalmente si scrive come a(t) = d( (t) v(t))/dt Ovvero: a(t) = (t) dv(t)/dt + d (t)/dt v(t) La componente dellaccelerazione lungo la traiettoria e laccelerazione tangenziale e vale a t = (t) dv(t)/dt La variazione del vettore tangente alla traiettoria puo essere solo di direzione; e la variazione di direzione non puo essere che perpendicolare alla traiettoria Naturalmente esiste una trattazione piu formale… Quindi a(t) = (t) dv(t)/dt + d (t)/dt v(t) = a tang + a centr


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