Teoremi sui limiti.

Presentazione sul tema: "Teoremi sui limiti."— Transcript della presentazione:

1 Teoremi sui limiti

2 TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE
Se per x →c la funzione f(x) ammette un limite questo è unico Per assurdo

3 Consideriamo tre funzioni f(x), g(x) e h(x)
PRIMO TEOREMA DEL CONFRONTO (detto anche: “TEOREMA DEI DUE CARABINIERI”) Consideriamo tre funzioni f(x), g(x) e h(x) Se in un intorno di c escluso al più c si ha e inoltre Allora anche

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5 Dunque, l’ipotesi è che a)      esista un intorno I(c)  tale che per ogni x di I (c) , escluso tutt’al più c , si abbia b)      e inoltre risulti . La tesi è che . Ora, ·      la condizione a) ci porta a figurarci le due funzioni f(x) e g(x)     come due “carabinieri” che ”stringono in mezzo” un “ladro”, ossia la funzione  h(x) ·      … e la condizione b) ci dice che i due “carabinieri” sono diretti entrambi in “caserma” (il limite l  ). E’ perciò evidente che pure il “ladro” , essendo stretto in mezzo fra i due carabinieri, dovrà necessariamente confluire in caserma ( = tendere al limite l  ). La dimostrazione consisterà nel tradurre in opportune relazioni matematiche questa buffa idea.

6 Per la definizione di limite, per ogni    ε >0     esistono due intorni I1    e I2    di c   tali che
                                                l- ε<   f(x)<l+ε      per ogni x € I1 l- ε<   g(x)<l+ε       per ogni x € I2                                   Quindi l- ε< f(x)≤h(x)≤g(x) <l+ε                                                                           Quindi per ogni   ε >0      esiste un intorno      I=   I1∩ I2    tale che l- ε< h(x) <l+ε                                                        In altre parole