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“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi” Milano - 4 ottobre 2014 Nando Geronimi PARIGI 2014.

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1 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi” Milano - 4 ottobre 2014 Nando Geronimi PARIGI 2014

2 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi” "Giochi, Modelli, Storia“ Milano ottobre 2013 Milano - 4 ottobre 2014 Nando Geronimi

3 LA DIAGONALE Nel rettangolo ABCD (con AB > BC) la diagonale AC misura 25 m. A B CD Calcolate la misura di AB sapendo che i lati misurano un numero interi di metri. 25 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

4 TERNA PITAGORICA Una terna pitagorica è una terna di numeri interi positivi a, b, c tali che: a 2 + b 2 = c 2 La prima e più conosciuta terna pitagorica (ridotta) è: 3, 4, 5 perché = 5 2 k Da ogni terna pitagorica ridotta del tipo a, b, c si ricavano infinite altre terne pitagoriche (derivate) moltiplicando ogni numero per un fattore k intero positivo: ka, kb, kc Una seconda terna pitagorica (ridotta) è: 5, 12, 13 perché =13 2 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

5 LA DIAGONALE Nel rettangolo ABCD (con AB > BC) la diagonale AC misura 25 m. A B CD Calcolate la misura di AB sapendo che i lati misurano un numero interi di metri. 15 – 20 – TERNE PITAGORICHE 3 – 4 – 55 – 12 – 13 6 – 8 – 10 9 – 12 – – 16 – 20 … e se AC fosse 97 m? “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi” La soluzione è unica?

6 LA DIAGONALE Nel rettangolo ABCD (con AB > BC) la diagonale AC misura 25 m. A B CD Calcolate la misura di AB sapendo che i lati misurano un numero interi di metri. 25 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi” nn2n

7 CERCHI E TRAPEZI In figura vedete un trapezio isoscele, le basi misurano 14 e 20 cm, i lati sono tangenti a una circonferenza. Qual è (in cm 2 ) l’area del cerchio? P.S. Nel calcolo, scrivete 22/7 al posto di π. AB CD K H O I “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

8 CERCHI E TRAPEZI AB CD K H O AH=1/2 (AB) = 10 cm DH=1/2 (CD) = 7 cm I OH = √(AH x DH) = √ (10 x 7) Area cerchio: 10 x 7 x 22/7 = 220 cm 2 In figura vedete un trapezio isoscele, le basi misurano 14 e 20 cm, i lati sono tangenti a una circonferenza Qual è (in cm 2 ) l’area del cerchio? P.S. Nel calcolo, scrivete 22/7 al posto di π. Per il 2° teorema di Euclide: Il triangolo AOD è rettangolo in O “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

9 UN QUADRILATERO NEL QUADRATO I triangoli AFD e GFB sono simili e il loro rapporto di similitudine è ½; allora: HF = ½ FN, e HF=1/3 HN. G N H Il triangolo AFD è 1/6 del quadrato ABCD. Il triangolo AEI è 1/5 del triangolo ABI, il quale è ¼ del quadrato. L’area della parte ombreggiata (differenza tra le aree di AFD e AEI) è 1/6 – 1/20 = 7/60 dell’area del quadrato ABCD e misura: 30 2 x 7/60 = 105 cm 2 Il triangolo AEI è 1/20 del quadrato ABCD. Nel quadrato ABCD, i punti I e K sono i punti medi di AD e di CD. Sapendo che il lato del quadrato misura 30 cm, quanto misura l’area del quadrilatero DIEF? “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

10 LA BICI E LA PRESA D’ARIA Una bicicletta è accuratamente appoggiata ad un muro. In questo muro, a livello del suolo, si trova una presa d’aria quadrata. Curiosamente i due angoli superiori della presa d’aria, coincidono con due punti della ruota, come indicato nella figura. Sapendo che il lato della presa d’aria misura 56 cm, quanto misura il diametro della ruota della bicicletta? Dare la risposta in centimetri, arrotondando eventualmente al centimetro più vicino. “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

11 LA BICI E LA PRESA D’ARIA “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

12 LA BICI E LA PRESA D’ARIA A B C H D K 1° Teorema di Euclide: KH = DH 2 / MH M AD = MH = 2 AH Teorema di Pitagora: DH 2 = AD 2 + AH 2 DH 2 = (2AH) 2 + AH 2 = 5 AH 2 KH = 5 AH 2 / 2 AH = (5/2) AH = (5/4) AD AD = 56 cm KH = (5/4) 56 = 70 cm “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

13 L’EREDITA’ (Finale nazionale 2014) Amerigo e Renato hanno ricevuto in eredità il terreno che vedete in figura. È una buona eredità, anche se il perimetro non raggiunge i decimetri. Si sono allora diviso il terreno in due parti che hanno, ciascuna, la forma di un triangolo rettangolo; il lato comune ha una lunghezza di 2014 dm e la misura di ogni lato è espressa da un numero intero di dm. Qual è esattamente il perimetro dell’intero terreno? A B C D 2014 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

14 TERNA PITAGORICA Una terna pitagorica è una terna di numeri interi positivi a, b, c tali che a 2 + b 2 = c 2 Quante terne pitagoriche si conoscono? Calcolate: a: m 2 – n 2 Scrivete due numeri m e n interi positivi (m> n) Esempi: m=2, n=1 a: 2 2 – 1 2 = 3 b: 2x2x1 = 4 c: = 5 Esempi: m=3, n=2 a: 3 2 – 2 2 = 5 b: 2x3x2 = 12 c: = 13 Esempi: m=5, n=2 a: 5 2 – 2 2 = 21 b: 2x5x2 = 20 c: = 29 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi” b: 2mn c: m 2 +n 2

15 L’EREDITA’ (Finale nazionale 2014) Amerigo e Renato hanno ricevuto in eredità il terreno che vedete in figura. È una buona eredità, anche se il perimetro non raggiunge i decimetri. Si sono allora diviso il terreno in due parti che hanno, ciascuna, la forma di un triangolo rettangolo; il lato comune ha una lunghezza di 2014 dm e la misura di ogni lato è espressa da un numero intero di dm. Qual è esattamente il perimetro dell’intero terreno? 2014 = 2 x 53 x 19 AB = = = ° triangolo rettangolo: ipotenusa=2014=2x19x53=2x19x(49+4)=2x19x( ), A B C D CB = = = 3170 m=7, n=2 CD= 2x19x( ) = 2x19x(49-4) = 2x19x45=1710 Perimetro = = 8392 dm 2 AD= 2x19x2x7x2= “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

16 LA DIVISIONE DI EUGENIO Il grande architetto Eugenio Itor adorava i numeri interi. Ammiratore di Pitagora e Talete, acquistò il campo triangolare rappresentato in figura i cui lati misuravano, maliziosamente, AB = 13 √63 m, AC = 15 √63 m BC = 14 √63 m. Quando morì, i suoi due figli, Delim e Facil, si divisero il terreno in due parti aventi la stessa area. Delim e Facil decisero di costruire un muro di separazione rettilineo e perpendicolare al lato BC. Quanti metri misura, arrotondata al centimetro, la lunghezza del muro di separazione? Prendere 2,646 per √7 AB = 13 √63 m AC = 15 √63 m BC = 14 √63 m “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

17 LA DIVISIONE DI EUGENIO AB = 13 √63 m AC = 15 √63 m BC = 14 √63 m Perché non AB = 39 √7 m AC = 45 √7 m BC = 42 √7 m? “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

18 LA DIVISIONE DI EUGENIO L’area del triangolo ABC misura 14x12/2 = 84 u 2 AB = 13 √63 m AC = 15 √63 m BC = 14 √63 m Perché non AB = 13x3 x√7 = 39 √7 m AC = 15x3x √7 = 45 √7 m BC = 14x3 x√7 = 42 √7 m? Il triangolo KMC (simile al triangolo AHC) deve avere un’area di 42 u 2. H L’area del triangolo AHC misura 9x12/2 = 54 u 2 MC/HC = √(42/54) = √(7) /3 HC = 9 x 3 x √7 MC = 9 x 3 x √7 x √7 /3 =63 MK = 12 x 3 x √7 x √7 / 3 = 84 m “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

19 TERNA PITAGORICA Scrivete due numeri a piacere. Scrivete poi un terzo numero uguale alla somma dei primi due. Scrivere ora un quarto numero uguale alla somma degli ultimi due Calcolate il prodotto tra il primo e il quarto. Calcolate il doppio prodotto tra il secondo e il terzo. Avete trovato i primi due numeri una terna pitagorica! Esempio: 1° numero: 2 2° numero: 3 3° numero: 5 4° numero: 8 2x8=16 2x3x5= = 34 Qual è il terzo numero? Il quadrato del secondo più il quadrato del terzo = 34 2 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

20 TERNA PITAGORICA di FIBO La successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ……….. Prendiamo 4 numeri consecutivi della successione. Esempio: 5, 8, 13, 21. Il prodotto tra il primo e il quarto numero: 5x21=105, il doppio prodotto tra il secondo e il terzo: 2x8x13=208 √( ) =√( ) = √54289) = , 208, 233 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

21 TERNA PITAGORICA di FIBO Una generica successione di Fibonacci: a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, 13a+21b … Prendiamo i primi 4 numeri consecutivi della successione. a, b, a+b, a+2b Il prodotto tra il primo e il quarto numero: a 2 +2ab il doppio prodotto tra il secondo e il terzo: 2ab+2b 2 sono i primi due termini di una terna pitagorica Il terzo numero è (a+b) 2 +b 2 “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

22 IL PONTE SUL LAGO I due fratelli Pagne e Pion hanno ereditato ciascuno un giardino e un campo di forma quadrata, tutti diversi, che circondano un lago quadrangolare; l’angolo formato dalle due superfici di Pagne è retto. Pion è furente! Facendo una passeggiata lungo i 600 metri del perimetro del lago, si è accorto che suo fratello possedeva 600 m 2 più di lui; ciò non è evidente poiché il lato del giardino di Pagne misura solo un metro in più del lato del proprio giardino. Sapendo che il ponte e i lati di tutti i quadrati misurano numeri interi di metri, quanto è lungo il ponte? (Suggerimento: la soluzione è unica ed è un multiplo di 5) Campo di Pion Giardino di Pion Giardino di Pagne Campo di Pagne Ponte sul lago “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

23 IL PONTE SUL LAGO Campo di Pion Giardino di Pion Giardino di Pagne Campo di Pagne Ponte sul lago B A D C AD: x AB: y CD: w BC: z w = x-1 x+y+w+z=600 x 2 +y 2 =w 2 +z I due fratelli Pagne e Pion hanno ereditato ciascuno un giardino e un campo di forma quadrata, tutti diversi, che circondano un lago quadrangolare; l’angolo formato dalle due superfici di Pagne è retto. Pion è furente! Facendo una passeggiata lungo i 600 metri del perimetro del lago, si è accorto che suo fratello possedeva 600 m 2 più di lui; ciò non è evidente poiché il lato del giardino di Pagne misura solo un metro in più del lato del proprio giardino. Sapendo che il ponte e i lati di tutti i quadrati misurano numeri interi di metri, quanto è lungo il ponte? (Suggerimento: la soluzione è unica ed è un multiplo di 5) x y w z “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

24 IL PONTE SUL LAGO w = x-1 Campo di Pion Giardino di Pion Giardino di Pagne Campo di Pagne Ponte sul lago B A D C AD: x AB: y CD: w BC: z x 2 +y 2 = (x-1) 2 +z x 2 +y 2 = x 2 -2x+1+z y 2 - z 2 = 601-2x x+y+x-1+z=600y+z=601-2x (y–z) (y+z)= y+zy= 1+z (1+z) 2 = -2x+1+z z+z 2 = -2x+1+z z = -x+300 y= 301-x w = x-1 x+y+w+z=600 x 2 +y 2 =w 2 +z “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

25 IL PONTE SUL LAGO w = x-1 Campo di Pion Giardino di Pion Giardino di Pagne Campo di Pagne Ponte sul lago B A D C AD: x AB: y CD: w BC: z x 2 +y 2 =w 2 +z x 2 +y 2 = (x-1) 2 +z x 2 +y 2 = x 2 -2x+1+z y 2 - z 2 = 601-2x x+y+x-1+z=600y+z=601-2x (y–z) (y+z)= y+zy= 1+z (1+z) 2 = -2x+1+z z+z 2 = -2x+1+z z = -x+300 y= 301-x w = x-1 x+y+w+z=600 I lati y, w, z sono espressi in funzione di x “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

26 IL PONTE SUL LAGO w = x-1 Campo di Pion Giardino di Pion Giardino di Pagne Campo di Pagne Ponte sul lago B A D C z = -x+300 y= 301-x x 2 +y 2 =n 2 (Suggerimento: la soluzione è unica ed è un multiplo di 5) x, y, n è una terna pitagorica derivata da 3, 4, 5 ? Se si allora: y=4/3 x 4/3 x = x 7/3 x = 301 x = 129 = (3x43)y = 172 = (4x43)n = 215 = (5x43) w = 128z = 171 Il ponte è lungo 215 metri “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

27 ARBELO La decorazione in legno che ricorda un arbelo, è stata ricavata da un semicilindro di diametro AB da cui sono stati tagliati due semicilindri di diametro AC e BC; il punto C divide AB in due parti tali che AC = 3 BC. Sapendo che il semicilidro originale pesava esattamente 8 kg, quanto pesa l’arbelo? L’area dell’arbelo è equivalente all’area del cerchio che ha per diametro il segmento CD. Se il semicilindro pesava 8 kg allora la decorazione pesa 3 kg. L’arbelo è i 3/8 del semicilindro Area semicilindro: 4 2 π /2 = 8 π Area arbelo: 3 π Se AB= 8, allora AC=6, BC=2 e, per il 2° di Euclide, CD=2√3. L’arbelo che parte è del semicilindro? “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

28 Il casco del cavaliere (Semifinale 2012) Nella figura (simmetrica rispetto all’asse verticale) vedete un casco da cavaliere. I cinque vertici del pentagono sono situati su una stessa circonferenza. I tre lati più piccoli dello stesso pentagono hanno una lunghezza uguale al raggio di questa circonferenza, ovvero di 25 cm. I punti medi dei lati maggiori del pentagono delimitano la base inferiore del triangolo grigio (che rappresenta la visiera del casco); i vertici alti del triangolo grigio e del pentagono coincidono. Qual è la superficie della visiera del casco (espressa in cm 2 e arrotondata al cm 2 più vicino)?Qual è la superficie della visiera del casco (espressa in cm 2 e arrotondata al cm 2 più vicino)? Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √5).Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √5). “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

29 Il casco del cavaliere Nella figura (simmetrica rispetto all’asse verticale) vedete un casco da cavaliere. I cinque vertici del pentagono sono situati su una stessa circonferenza. I tre lati più piccoli dello stesso pentagono hanno una lunghezza uguale al raggio di questa circonferenza, ovvero di 25 cm. I punti medi dei lati maggiori del pentagono delimitano la base inferiore del triangolo grigio (che rappresenta la visiera del casco); i vertici alti del triangolo grigio e del pentagono coincidono. Qual è la superficie della visiera del casco (espressa in cm 2 e arrotondata al cm 2 più vicino)?Qual è la superficie della visiera del casco (espressa in cm 2 e arrotondata al cm 2 più vicino)? Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √5).Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √5). A B C D E MN O r = AB = CD = DE = 25 cm S(MND) = ? “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

30 Il casco del cavaliere ED=r AE=r√2 EM=r√2/2 DM=EM x sen 105°/sen 30° (teorema dei seni) Il triangolo MND è equilatero. S(MND) = DM 2 sen60° x 1/2 ……………….. Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √5). A B C D E MN O r = AB = CD = DE = 25 cm 120° 60° 90° 45° 30° S(MND) = ? “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

31 Il casco del cavaliere EC = r √3 MN = (EC+AB)/2 = r (√3 +1)/2 MH = MN/2 = r (√3 +1)/4 DH = (MH)√3 = r (√3 +1)√3/4 = r (3+√3)/4 S (MND) = MHxDH = [r (√3 +1)/4] x [r (3+√3)/4 ] = = r 2 (6+4 √3)/16 = = 625 (6+6,928)/16 = 625 x 12,928 /16 = = 505 cm 2 Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √5). A B C D E MN O r = AB = CD = DE = 25 cm S(MND) = ? H “Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”


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