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Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 173 Il momento angolare.

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Presentazione sul tema: "Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 173 Il momento angolare."— Transcript della presentazione:

1 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 173 Il momento angolare

2 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 174 Il momento angolare … e adesso vediamo un altro momento

3 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 175 Il momento angolare ATTENZIONE MOMENTO non vuol dire ISTANTE, ma ha la sua radice nel latino (il nostro MOVIMENTO)

4 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 176 Il momento angolare Si tratta del Momento della quantità di moto Momento angolare

5 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 177 Il momento angolare … lo schema … e la definizione O p r θP

6 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 178 Il momento angolare È un vettore Perpendicolare alla velocità al piano individuato dalla velocità e da un punto fisso Ha senso solo se è specificato un punto di riferimento Momento angolare di P rispetto ad O

7 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 179 Il momento angolare Unità di misura: unità che non ha nome nel SI

8 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 180

9 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 181 Il momento angolare Regola a spanne: Senso antiorario: positivo Senso orario: negativo Mano destra? cavatappi? Corrente in una spira? Ma va? - +

10 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 182 Partiamo da un punto materiale Prendiamo un punto fisso O Individuiamo il punto con un raggio vettore Teniamo presente il momento lineare del punto Infine costruiamo il vettore momento angolare (o momento della quantità di moto) Il momento angolare è sempre definito rispetto ad un punto (polo) Il momento angolare

11 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 183 Il momento angolare Situazione descritta in figura Attenzione: è difficile da visualizzare in 3D… Si continua a consigliare luso di stecchini per tenerli insieme il formaggio va benissimo DAS per chi è a dieta...

12 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 184 Il momento angolare Calcoliamo le sue componenti cartesiane

13 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 185 Il momento angolare Esplicitamente

14 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 186 Il momento angolare viene definito come la somma dei momenti angolari dei singoli punti...oppure come un integrale, per un sistema continuo E per un sistema di punti?

15 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 187 Vediamo degli esempi

16 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 188 …con moto circolare nel piano xy È il caso più semplice UN PUNTO... x y z P

17 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 189 Qualche ricordo... …delle espressioni di coordinate e velocità nel moto circolare …e poi torniamo allespressione standard del prodotto esterno

18 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 190 UN PUNTO...

19 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 191 ATTENZIONE Dora in avanti la velocità angolare sarà un VETTORE Modulo: quello della solita velocità angolare Direzione: perpendicolare al piano di rotazione Verso: quello per cui si vede la rotazione avvenire in senso antiorario

20 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 192 Viene definito il momento dinerzia di un punto... rispetto ad un asse! Caso particolare

21 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 193 Alcune prime analogie......per evitare di ricordarsi troppe formule

22 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 194 La conservazione del momento angolare

23 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 195 Conservazione del momento angolare Riprendiamo la definizione......e deriviamola

24 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 196 Conservazione del momento angolare Definiamo così una nuova quantità il momento meccanico di una forza rispetto ad un punto fisso O (o momento della forza rispetto ad O)

25 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 197 Anzitutto otteniamo la legge per il moto rotatorio Notate di nuovo le analogie con la II legge della dinamica Conservazione del momento angolare

26 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 198 Quindi abbiamo che Questo succede in tre casi Conservazione del momento angolare

27 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 199 Primo caso F

28 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 200 Secondo caso

29 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 201 Terzo caso (1)

30 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 202 Terzo caso (2)

31 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 203 Analogie Le formule della meccanica rotazionale per corpi con asse fisso sono analoghe a quelle del punto materiale a patto di fare le sostituzioni

32 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 204 Le quantità meccaniche Se si fa del lavoro su un punto … … vale il teorema dellenergia cinetica

33 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 205 Il lavoro fatto da tutte le forze su un punto è pari alla variazione di energia cinetica

34 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 206 Le quantità meccaniche Lenergia cinetica è definita a meno di una costante additiva (!) Nel SI lunità di misura è il joule

35 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 207 Le quantità meccaniche Un esempio: unautomobile da 850 kg che viaggi a 130 km/h Un altro esempio: un meteorite da 1 kg arriva sulla Terra a 45 km/s

36 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 208 Le quantità meccaniche

37 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 209 Le quantità meccaniche

38 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 210 Le quantità meccaniche

39 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 211 Le quantità meccaniche Un esempio: momento angolare rispetto allasse di rotazione di una massa di un grammo posta alla periferia del tamburo della mia lavatrice (raggio: 23 cm) che gira a 550 giri al minuto

40 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 212 Le quantità meccaniche

41 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 213 Le quantità meccaniche Altro esempio: momento angolare della Terra nel suo moto attorno a Sole, rispetto al suo centro di rotazione (il Sole, con buona approssimazione)

42 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 214 Le quantità meccaniche

43 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 215 Le quantità meccaniche

44 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 216 ALTRE CONSEGUENZE

45 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 217 ALTRE CONSEGUENZE La quantità si chiama momento meccanico Le dimensioni sono

46 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 218

47 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 219 ALTRE CONSEGUENZE Attenzione: e non viceversa (confusione con milli-newton ) Non joule …

48 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 220 ALTRE CONSEGUENZE E se … allora … e questo succede solo in uno dei tre casi 1. Siamo sullasse 2. A forza totale è nulla 3. La forza è diretta sempre verso lo stesso punto (forza centrale)

49 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 221 Definiamo i termini Cosè un corpo rigido?

50 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 222 Definiamo i termini In un corpo rigido le distanze fra due punti qualunque restano sempre costanti

51 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 223 Definiamo i termini … ed anzitutto ricordiamoci che non esistono corpi rigidi Solo più o meno deformabili … e poi non piace alla relatività Un buon parametro è il modulo di Young Rapporto tra forza e deformazione Grosso modo …

52 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 224 Corpi rigidi e semplificazioni … anzitutto: masse specifiche …

53 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 225 Corpi rigidi Un corpo continuo viene diviso in elementi infinitesimi, e si guarda alla massa degli elementi infinitesimi Ma esistono corpi continui? OVVIAMENTE … NO!

54 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 226 Corpi rigidi E allora? … ci si accontenta … Un batterio: diametro circa; atomi messi in fila Possiamo considerarlo continuo? Mah …

55 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 227 Corpi rigidi Massa lineica (o densità lineare) Tipico uso: fili, sbarre, travi (e non necessariamente rettilinee …) Se il corpo (filo, sbarra, trave, …) si dice omogeneo

56 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 228

57 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 229 Corpi rigidi Massa areica (o densità superficiale) Tipico uso: membrane, lastre (e non necessariamente piane …) Se il corpo (membrana, lastra, …) si dice omogeneo

58 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 230

59 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 231 Corpi rigidi Massa volumica (o densità) Uso comunissimo. Attenzione: la densità dellacqua nel SI vale

60 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 232

61 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 233 Corpi rigidi In generale Se la densità è costante il corpo si dice omogeneo Il corpo può essere complicatissimo (unauto? Un TIR? Un aereo?)

62 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 234 Corpi rigidi Le densità dei solidi sono dellordine di Le densità nei nuclei vanno su di un fattore (stelle di neutroni …) di materia nucleare avrebbe una massa dellordine di

63 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 235

64 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 236 Il centro di massa … o baricentro …

65 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 237 Il centro di massa Cominciamo col semplice: Due masse ed poste su una retta (asse x) a coordinate e O

66 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 238 Il centro di massa Si chiama media pesata Importante: se si ha Proprietà fondamentale di simmetria

67 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 239 Il centro di massa E se i punti sono tanti? Siamo di fronte ad un sistema particellare (o sistema discreto) La definizione si estende subito, usando i vettori

68 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 240 Il centro di massa … e proiettando sugli assi ….

69 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 241 Il centro di massa Ed ora passiamo al continuo

70 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 242 Il centro di massa In generale

71 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 243 Il centro di massa

72 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 244 Come si muove il CM?

73 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 245 Come si muove il CM? In un sistema complesso (una Galassia?) il moto si può spezzare in due tronconi UN MOTO DI INSIEME (CM)... come se si trattasse di un punto materiale … UN MOTO ATTORNO AL CM … e spesso ci possiamo accontentare del primo schema VEDIAMO I DETTAGLI

74 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 246 Il momento lineare o quantità di moto

75 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 247 Il momento lineare Vediamo il caso discreto Solo per semplicità di formule

76 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 248 Il momento lineare

77 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 249 Il momento lineare Il momento lineare di un sistema si può calcolare O come somma vettoriale dei momenti lineari di tutti i punti O come se il CM fosse un vero punto materiale

78 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 250 Il moto del CM … il celebre teorema del moto del baricentro …

79 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 251 Il moto del CM

80 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 252 Il moto del CM

81 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 253 Il moto del CM Analizziamo: Massa totale del sistema: Accelerazione del CM: Risultante di tutte le forze che agiscono sul punto k : Risultante di tutte le forze che agiscono su tutti i punti

82 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 254 Il moto del CM Per il III principio tutte le forze che agiscono fra i punti, a due a due, hanno risultante 0 Restano vive solo le forze esterne QUINDI

83 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 255 Il moto del CM Nel moto di un sistema il CM si muove come un punto materiale con massa pari a quello dellintero sistema sul quale agisca la risultante delle forze esterne

84 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 256 Il moto del CM E se la risultante delle forze esterne è nulla? IL CM SI MUOVE DI MOTO RETTILINEO ED UNIFORME

85 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 257 Moto di un corpo rigido: esempio Ecco un martello tirato per aria Mettiamo in evidenza il moto del CM (rosso) il moto di un punto del manico (verdino)

86 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 258 Il salto dei cinesi

87 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 259

88 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 260 Il salto dei cinesi Quando saltiamo (80 kg) spingiamo la Terra Il momento totale non varia Il CM resta dovera Se il nostro CM si sposta di 1 m quello della Terra si sposta di

89 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 261 Il salto dei cinesi Circa volte sotto lattuale limite sperimentale! … e se un miliardo di cinesi, tutti insieme … Basta moltiplicare … Il diametro di una decina di nuclei

90 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 262 Il meteorite

91 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 263 Il meteorite Il meteorite dei dinosauri, la Terra che schizza dallorbita. Ci perdiamo nello spazio cosmico … Ma non diciamo scemate … Diametro: circa 10 km Densità: quella di una roccia Velocità: 40 km/s Momento lineare?

92 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 264 Il meteorite Momento lineare del meteorite Momento lineare della Terra

93 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 265 Il meteorite Cè un rapporto quasi Raggio dellorbita Alla peggio il raggio dellorbita può essere variato di Come a dire: nulla

94 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 266 Il meteorite … e lenergia? Energia cinetica del meteorite Circa arsenali nucleari … … e quella della Terra

95 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 267 Il meteorite Ancora un rapporto di circa Le velocità sono quasi uguali … Una pietruzza da 1 mg che urta unauto da 1t, entrambi a 100 allora

96 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 268 Il razzo … ed il trenino …

97 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 269 Il razzo

98 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 270 Il razzo Diamo solo la formula finale

99 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 271 Lenergia cinetica … ed il teorema di König …

100 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 272 Lenergia cinetica Energia cinetica del punto k Energia cinetica totale

101 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 273 Lenergia cinetica Adesso introduciamo un nuovo sistema di riferimento Con lorigine nel CM Con gli assi sempre paralleli al sistema di partenza È il sistema del centro di massa

102 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 274 Lenergia cinetica Velocità Ora sviluppiamo:

103 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 275 Lenergia cinetica Continuiamo

104 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 276 Lenergia cinetica Continuiamo … Il termine in rosso è nullo per definizione!

105 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 277

106 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 278 Il momento angolare

107 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 279 Il momento angolare La definizione ci dà subito

108 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 280 Lenergia cinetica

109 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 281 Lenergia cinetica La definizione ci dà subito

110 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 282 Il momento dinerzia per un punto materiale Un modo difficile per dire cose semplici?

111 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 283 Il momento dinerzia Definiamo il momento dinerzia del punto materiale rispetto allasse di rotazione

112 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 284 ANALOGIE Massa Momento lineare Energia cinetica Momento dinerzia Momento angolare Energia cinetica

113 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 285 Lequazione del moto

114 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 286 Lequazione del moto Ricordate? Quindi rispetto ad un asse … … con l accelerazione angolare

115 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 287 Il momento dinerzia in generale … ed ecco che le cose cambiano…

116 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 288 Il calcolo dei momenti dinerzia Ovvero Il calcolo differenziale al lavoro

117 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 289 ANZITUTTO CASI SEMPLICI FACCIAMO USO DI TUTTA LA SIMMETRIA POSSIBILE PER FORME SEMPLICI

118 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 290 Il momento angolare

119 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 291 Il momento angolare La definizione ci dà subito

120 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 292 Lenergia cinetica

121 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 293 Lenergia cinetica La definizione ci dà subito

122 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 294 Il momento dinerzia per un punto materiale Un modo difficile per dire cose semplici?

123 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 295 Il momento dinerzia Definiamo il momento dinerzia del punto materiale rispetto allasse di rotazione

124 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 296 ANALOGIE Massa Momento lineare Energia cinetica Momento dinerzia Momento angolare Energia cinetica

125 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 297 ANALOGIE Per un punto materiale che ruota il momento dinerzia ha lo stesso ruolo della massa per un punto che trasla

126 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 298 Lequazione del moto

127 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 299 Lequazione del moto Ricordate? Quindi rispetto ad un asse … … introducendo l accelerazione angolare

128 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 300 Lequazione del moto Notate ancora le analogie!

129 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 301 Il momento dinerzia in generale … ed ecco che le cose cambiano…

130 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 302 Il momento dinerzia in generale Se abbiamo tanti punti … … e se abbiamo un corpo continuo

131 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 303 Il momento dinerzia in generale Alti momento dinerzia rispetto ad un asse si hanno non solo con alte masse, ma anche con masse poste distanti dallasse

132 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 304 Il moto di un corpo rigido

133 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 305 Il moto di un corpo rigido Si dimostra che il moto più generale è la sovrapposizione di un moto di traslazione e di uno di rotazione

134 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 306 Il moto di un corpo rigido Attenzione Il moto di rotazione è attorno ad un asse che cambia continuamente Nello spazio Dentro al corpo

135 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 307 Il moto di un corpo rigido Un esempio: la Terra Il suo asse si sposta … … nello spazio (descrive un cono in circa anni) … attorno al Polo (in modo piuttosto erratico, di circa qualche kilometro)

136 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 308 Il moto di un corpo rigido Un moto estremamente complicato NOI Ci limiteremo a moti di rotazione attorno ad un asse E a qualche piccola digressione sul tema

137 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 309 Il moto di un corpo rigido Il moto attorno ad un asse avviene con velocità angolare costante per tutti i punti del corpo SE il corpo è rigido E se no? Il corpo non è rigido Esempio: il Sole

138 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 310 Il calcolo dei momenti dinerzia Ovvero Il calcolo differenziale al lavoro

139 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 311 ANZITUTTO CASI SEMPLICI FACCIAMO USO DI TUTTA LA SIMMETRIA POSSIBILE PER FORME SEMPLICI

140 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 312 Il momento dinerzia

141 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 313 Per un insieme di punti materiali vale la relazione Per un corpo continuo Momento dinerzia

142 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 314 Momenti dinerzia Casi notevoli

143 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 315 I di una sbarra Vediamo un primo esempio Momento dinerzia di una sbarra omogenea rispetto ad un asse ad essa ortogonale che passa per il suo CM

144 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 316 I di una sbarra Asta omogenea, lunga L, massa M Rispetto ad un asse passante per il centro (= di massa!) ortogonale alla sbarra Facciamo la sbarra a fettine infinitesime Proprio come se fosse una salsiccia

145 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 317 dx x

146 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 318 I di una sbarra Momento dinerzia (rispetto allasse z) dellelemento dx Momento dinerzia totale

147 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 319 I di un cilindro Cilindro omogeneo, massa M, raggio R, altezza h, densità Rispetto allasse di simmetria Pensiamo al cilindro come ad un insieme di tubi vuoti di spessore infinitesimo Volume di un tubo

148 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 320 I di un cilindro Momento dinerzia di un tubo rispetto ad un asse ad esso ortogonale che passa per il suo CM

149 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 321 I di un cilindro La densità è costante La massa di un sottile anello di raggio r vale Tutta la massa sta a distanza r costante

150 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 322 I di un cilindro Il momento dinerzia elementare vale

151 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 323 I di un cilindro In totale …e la stessa cosa vale per un disco! Un cilindro sottile!

152 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 324 I di una sfera Momento dinerzia di una sfera rispetto ad un suo diametro

153 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 325 I di una sfera Momento dinerzia del disco raggio massa momento dinerzia elementare

154 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 326 I di una sfera Ora calcoliamo il momento dinerzia complessivo

155 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 327 I di una sfera Una nota sullintegrale

156 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 328 I di una sfera Momento angolare rispetto ad un asse passante per il centro Energia cinetica del moto di rotazione

157 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 329 I di una sfera Energia cinetica nel moto di rotazione della Terra

158 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 330 UN DUBBIO … E SE LASSE NON È DI SIMMETRIA? …

159 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 331 E se lasse non è di simmetria? Ad esempio: Unasta rispetto ad un estremo Un cilindro rispetto ad una sua generatrice Non è una questione accademica: appare subito nel moto di rotolamento

160 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 332 Il teorema di Steiner Un teorema semplice ed utilissimo Spostiamo lasse parallelamente a sé stesso?

161 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 333 Teorema di Steiner Ecco la situazione vista dallalto

162 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 334 dm ax-a y CMa X y

163 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 335 Teorema di Steiner Momento dinerzia rispetto allasse z

164 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 336 Teorema di Steiner Ora integriamo su tutto il corpo

165 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 337 Il moto dei corpi estesi

166 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 338 Moto di un corpo rigido Ricordiamo la Definizione di corpo rigido le distanze fra due punti qualunque restano costanti e cominciamo a ricordare che non esistono corpi rigidi in Natura… oltre a tutto non sarebbe relativistico...

167 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 339 Cominciamo dal basso

168 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 340 Una premessa In un corpo rigido che ruota con punto o asse fisso ci sono masse che si muovono in modo complesso per di più di moto peggio che circolare uniforme attenzione a considerarlo fermo gira tanto in fretta che sembra fermo

169 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 341 Una premessa Le masse che si muovono sono sensibili a forze e reagiscono con accelerazioni ad esse parallele I risultati finali sono spesso sorprendenti

170 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 342 asse fisso Iniziamo con un asse fisso Se un corpo esteso si muove con un asse fisso ci sono due punti fissi Se si vuole tener fisso un asse... La posizione del corpo è definita da un solo angolo In radianti! Definiremo al solito la velocità angolare e laccelerazione angolare

171 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 343 Rotazione con asse fisso

172 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 344 Rotazione con asse fisso Un punto del corpo si muoverà con traiettoria circolare Spazio Velocità

173 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 345 Rotazione con asse fisso accelerazione

174 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 346 Lenergia cinetica

175 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 347 Energia cinetica di un corpo rotante Riprendiamo il caso di un punto materiale x y z P

176 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 348 Lenergia cinetica del punto vale La formula vale in generale dato che tutte le quantità sono additive Energia cinetica di un corpo rotante

177 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 349 Energia di rotazione e teorema di Koenig Per un corpo che trasla e ruota

178 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 350 Oscillazioni IL PENDOLO FISICO

179 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 351 Il pendolo fisico Ecco la situazione Un corpo qualunque sospeso ad un asse CM mg x y

180 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 352 Il pendolo fisico Calcoliamo anzitutto il momento meccanico del peso rispetto ad O

181 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 353 Il pendolo fisico Ora calcoliamo la componente del momento della quantità di moto rispetto allasse z

182 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 354 Il pendolo fisico Ed infine applichiamo la legge del moto … … proiettata sullasse z

183 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 355 Il pendolo fisico Che per piccole oscillazioni diviene

184 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 356 Il pendolo fisico Quindi per piccole oscillazioni il pendolo si muove di moto armonico con pulsazione con periodo ecco la lunghezza ridotta del pendolo fisico

185 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 357 Il pendolo fisico Applichiamo il teorema di Steiner? La lunghezza ridotta è più grande della distanza fra O e il CM CM mg O

186 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 358 Il pendolo fisico Il periodo del pendolo fisico vale quindi...

187 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 359 Il pendolo fisico E se sospendiamo il pendolo per O? l ed l si scambiano i ruoli! Quindi ci possiamo aspettare che il pendolo abbia lo stesso periodo se è sospeso per qualunque asse a distanza l o l dal CM Quindi se conosciamo la lunghezza ridotta del pendolo e se misuriamo il suo periodo...

188 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 360 Il pendolo fisico POSSIAMO MISURARE g! Si chiama pendolo reversibile di Kater, e trova applicazione nei pendoli geodetici

189 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 361 Il pendolo fisico Si prende una sbarra con due coltelli a distanza ben misurata Si sospende la sbarra alternativamente su uno e sullaltro, spostando delle masse intermedie finché i periodi misurati sono uguali A questo punto il pendolo è tarato e la lunghezza ridotta è proprio la distanza fra i coltelli

190 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 362 Il pendolo fisico Con distanze misurate a si raggiungono precisioni analoghe sulla misura di g grosso modo la variazione di g che si ha per il fatto che ci si è alzati o abbassati di 3m oggi coi gravimetri a laser si fa circa 1000 volte meglio!

191 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 363 Rotazioni

192 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 364 Trottola e giroscopio Trottola: solido di rotazione con elevato momento dinerzia viene posta in rapida rotazione attorno al suo asse di figura ha quindi un grande momento angolare Si fa unapprossimazione il momento angolare è così grosso che varia solo in direzione

193 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 365 Trottola e giroscopio CM O h

194 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 366 Trottola e giroscopio Anzitutto le equazioni del moto! …e poi il momento meccanico

195 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 367 Trottola e giroscopio Quindi lincremento è ortogonale al vettore momento angolare il vettore momento angolare descrive un cono di semiampiezza È il moto di precessione con velocità ortogonale alla forza applicata... Vediamone la velocità angolare

196 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 368 Trottola e giroscopio Modulo della variazione del momento angolare Alcune conseguenze importanti:

197 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 369 Trottola e giroscopio In un sistema inerziale si conserva il momento angolare Quindi se abbiamo un corpo con alto momento angolare che possa ruotare liberamente in tutte le direzioni POSSIAMO AVERE UNA DIREZIONE COSTANTE IN UN SISTEMA INERZIALE

198 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 370 Trottola e giroscopio Una girobussola e se di direzioni costanti ne prendiamo tre? Magari ortogonali?

199 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 371 Trottola e giroscopio Otteniamo tre direzioni costanti in un sistema inerziale UNA PIATTAFORMA INERZIALE

200 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 372 Trottola e giroscopio Non ci servono le stelle per definire un sistema inerziale!

201 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 373 Moti composti

202 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 374 Moto di rotolamento È un moto di rotazione istantanea attorno al punto di contatto ruota-suolo Non facile da visualizzare si consiglia luso di un disco fatto muovere (poco) su un tavolo Ogni punto del corpo ha velocità diverse in modulo e (soprattutto) in direzione

203 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 375 Moto di rotolamento Ecco la situazione

204 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 376 Moto di rotolamento Il moto si può scomporre in moto del CM moto attorno al CM Attenzione a non fare confusione tra le formule del tipo che sono uguali nei due sistemi, ma hanno significato diverso!

205 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 377 Moto di rotolamento La rotazione attorno al punto di contatto implica che il momento dinerzia debba venir calcolato col teorema di Steiner Una domanda: MA CHI TIENE FERMO IL PUNTO DI CONTATTO?

206 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 378 Moto di rotolamento RISPOSTA LA FORZA DATTRITO! Il rotolamento non avviene se non cè attrito Ma la forza dattrito (radente!) non era dissipativa? Come mai nel rotolamento cè così poca perdita di energia?

207 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 379 Moto di rotolamento PERCHÈ LA FORZA DATTRITO CÈ, MA NON FA LAVORO agisce sempre su un punto con velocità nulla Insomma un moto decisamente complicato...

208 Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 380 Sollecitazioni ai supporti

209 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 381 Sollecitazioni ai supporti Supponiamo di avere un sistema equilibrato staticamente, ma un po strambo …come in figura...

210 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 382 Ecco la situazione allistante che consideriamo iniziale Sollecitazioni ai supporti a a L 2b CM x y z

211 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 383 Sollecitazioni ai supporti Calcoliamo il momento angolare del sistema quindi delle due masse

212 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 384 Sollecitazioni ai supporti Quindi il momento angolare vale, nellistante considerato Ci sono due componenti una parallela allasse di rotazione una ortogonale allasse di rotazione La componente parallela non varia nel tempo, ma quella ortogonale sì

213 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 385 Sollecitazioni ai supporti La componente ortogonale ruota con la velocità angolare del sistema Il momento angolare NON è parallelo allasse di rotazione!

214 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 386 Sollecitazioni ai supporti a a L 2b CM x y z

215 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 387 Sollecitazioni ai supporti Quindi delle due luna o conserviamo il momento angolare e lasse di rotazione non è quello che vogliamo! o manteniamo fisso lasse ed il momento angolare varia Se varia il momento angolare occorre un momento meccanico! Fornito da chi? MA DAI SUPPORTI!

216 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 388 Sollecitazioni ai supporti Ecco quanto vale il momento Il momento varia quindi continuamente in direzione è proporzionale al quadrato della velocità angolare!

217 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 389 Sollecitazioni ai supporti Il sistema si dice dinamicamente squilibrato fate equilibrare le ruote della macchina… E se ci mettessimo a vedere cosa succede nel sistema rotante? DOVREMMO INTRODURRE LE FORZE FITTIZIE QUINDI LE FORZE CENTRIFUGHE!

218 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 390 Sollecitazioni ai supporti Ecco la situazione... x z

219 Flavio WaldnerDINAMICA DEL CORPO RIGIDO 391 Sollecitazioni ai supporti Le forze centrifughe generano un momento! Di direzione costante nel sistema rotante e che quindi varia continuamente di direzione nel sistema fisso I supporti debbono fornire un momento uguale ed opposto controllate che in modulo e direzione otteniamo proprio quello che abbiamo calcolato prima


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