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Gli elettroni nei cristalli funzione donda elettronica: deve risolvere lequazione di Schroedinger in presenza di un potenziale periodico come si risolve.

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Presentazione sul tema: "Gli elettroni nei cristalli funzione donda elettronica: deve risolvere lequazione di Schroedinger in presenza di un potenziale periodico come si risolve."— Transcript della presentazione:

1 Gli elettroni nei cristalli funzione donda elettronica: deve risolvere lequazione di Schroedinger in presenza di un potenziale periodico come si risolve il problema per il singolo elettrone: funzione donda che rispecchia la periodicità del potenziale bande di energia permesse e bande di energia proibite come si tratta il problema nel caso di molti elettroni: antisimmetrizzazione della funzione donda meccanica statistica quantistica statistica di Fermi Dirac sol3-1 esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a)

2 Gli elettroni nei cristalli sol3-2 esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) E1E1 E2E2 E 1g E 1u E 2g E 2u E 1min E 2max E 1max E 2min atomo singolo livelli energetici singoli due atomi livelli energetici sdoppiati molti atomi multipletti di livelli energetici

3 funzione donda elettronica sol3-3 nessun nodo 1 nodo 3 nodi 7 nodi

4 livelli energetici elettronici distanza di equilibrio E 1min E 1max E 1atomic o il solido si forma a una distanza di equilibrio tale da minimizzare lenergia complessiva degli elettroni che occupano i livelli gli elettroni occupano i livelli energetici a partire dal più basso, rispettando il principio di Pauli sol3-4

5 bande di energia sol3-5 E 2min E 2max E 1atomic o E 4atomico E 3atomic o E 2atomic o molti elettroni per atomo: riempimento fino al livello 4 distanza di equilibrio = a E 2min E 2max E 3min E 3max E 4min E 4max E 3min E 3max E 4min E 4max E 3min E 3max E 4min E 4max

6 bande di energia sol3-6 E 1atomic o E 4atomico E 3atomic o E 2atomic o E 2max E 2min pochi elettroni: si riempiono solo i primi livelli distanza di equilibrio = a E 2max E 2min E1E1

7 moto di un elettrone in un potenziale periodico sol3-7 esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) Hamiltoniana: lhamiltoniana è invariante per traslazioni di passo a (periodica): H(x)=H(x+a) funzione donda: H(x) (x) = E (x) anche (x) deve essere invariante per traslazioni ? Non necessariamente, ma | (x)| 2 deve esserlo | (x)| 2 = | (x+a)| 2

8 il teorema di Bloch sol3-8 per soddisfare la condizione | (x)| 2 = | (x+a)| 2 la funzione donda deve poter essere scritta come (x)= e ikx u(x) con u(x) invariante per traslazioni : u(x) = u(x+a) (x) è chiamata onda di Bloch verifica del teorema di Bloch: come conseguenza dellinvarianza traslazionale, (x) può differire da (x+a) al più per una fase (x+a) = e i (x) e ik(x+a) u(x+a) = e i(kx+ ) u(x) e ika u(x+a) = e i u(x) se = ka, u(x+a) = u(x)

9 funzione donda di Bloch sol3-9 significato fisico dellonda di Bloch: è il prodotto di - unonda piana e ikx elettrone libero - una funzione u(x) identica sotto traslazioni di un passo reticolare a u(x) funzione donda in vicinanza del singolo atomo potenziale modulatore periodico V(x) piccolo: si parte dallonda di elettrone libero e si corregge per leffetto di V(x) elettroni di conduzione nei metalli; quantum corral potenziale modulatore periodico V(x) grande: si parte dalla funzione donda periodica e si include leffetto della fase e ikx approssimazione di legame forte p x costante del moto k buon numero quantico

10 approssimazione di legame forte funzione donda: x (x+a) equivale a cambiare n (n-1) n-1n n+1 E p,n-1 E p,n E p,n+ 1 n-1nn+1 n-1 n n+1 potenziale periodico: sol3-10

11 approssimazione di legame forte sol3-11 (x-na) è soluzione dellequazione di Schroedinger per lelettrone nellatomo isolato Sostituendo nellequazione di Schroedinger per lelettrone nel reticolo: livello di energia atomica modifica dovuta alle altre buche di potenziale del reticolo

12 approssimazione di legame forte Energia media: attrazione da parte delle buche vicine termine di sovrapposizione (o di risonanza) dove C = m-1m m+1 m-1m m+1 j=m n=m-1 mj=m+1 m sol3-12

13 approssimazione di legame forte sol3-13 limitandosi ai primi vicini (n=m 1): dove:

14 termini di overlap k=k min k=2 k min k=4 k min k=8 k min overlap positivo: (x-ma) e (x-(m-1)a) hanno lo stesso segno contributo negativo allenergia di overlap E p (x-ma) <0 (potenziale attrattivo) overlap negativo (x-ma) e (x-(m-1)a) hanno segno opposto contributo negativo allenergia di overlap sol3-14

15 approssimazione di legame forte sol3-15 a partire da ciascun livello atomico E k 0 /a- /a EatEat E coul E overlap prima zona di Brouillin -G/2 G/2

16 bande sol3-16 E 1max E 1min E 4min E 2max E 2min E 3max E 3min E 1atomico E 3atomico E 4atomico E 2atomico

17 bande di energia permesse e bande proibite sol3-17

18 bande di energia permesse e bande proibite sol3-18

19 bande permesse e proibite nella prima zona di Brouillin eccitazione radiativa da una banda alla banda superiore (se permessa dal principio di Pauli) sol3-18 E 2min E 1max sol3-19 E = E 2min - E 1max E = E 3min - E 2max E 3min E 2max

20 Il problema del trasporto sol3-20 Hamiltoniana di una particella libera: p x costante del moto k buon numero quantico velocità di gruppo: k v funzione donda: H(x) (x) = E (x) relazione di dispersione parabolica

21 velocità di fase e velocità di gruppo due onde k 1 = 1 Å -1 k 2 = 1,05 Å -1 4 onde k 1 = 1 Å -1 ; k 2 = 1,05 Å -1 k 3 = 1,1 Å -1 ; k 4 = 1,15 Å -1 x x k 2 sol3-21

22 moto dellelettrone libero in presenza di una forza esterna in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il pacchetto che allistante t aveva un certo numero donda k o e velocità v o, allistante (t+dt) ha numero donda (k o +dk) e velocità (v o +dv) con: V el catodo schermo v k dk sol3-22 per lelettrone libero, d 2 E/dk 2 =costante, quindi m=costante

23 moto di un elettrone nel cristallo in presenza di una forza esterna in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il pacchetto di onde di Bloch che allistante t aveva un certo numero donda k o e velocità v o, allistante (t+dt) ha numero donda (k o +dk) e velocità (v o +dv) con: sol3-23 per lelettrone nel cristallo, d 2 E/dk 2 non è costante, quindi m non è costante massa efficace V E zone di massa efficace negativa lelettrone si comporta come se avesse carica elettrica positiva buca

24 moto di un elettrone nel cristallo in presenza di una forza esterna sol3-24 riflessione al bordo di zona


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