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MECCANICA QUANTISTICA. Una particella è descritta mediante una funzione donda (posizione, tempo) 1 o POSTULATO Esempi: Per una singola particella che.

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Presentazione sul tema: "MECCANICA QUANTISTICA. Una particella è descritta mediante una funzione donda (posizione, tempo) 1 o POSTULATO Esempi: Per una singola particella che."— Transcript della presentazione:

1 MECCANICA QUANTISTICA

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3 Una particella è descritta mediante una funzione donda (posizione, tempo) 1 o POSTULATO Esempi: Per una singola particella che si muove in una dimensione: Per una singola particella che si muove in tre dimensioni: Per due particelle che si muovono in tre dimensioni: Se abbiamo la funzione donda di un sistema, possiamo ottenere tutto ciò che è possibile conoscere di quel sistema.

4 (x,y,z,t) è soluzione dellequazione di SCHRÖDINGER non è unonda fisica. è unentità matematica astratta che contiene le informazioni sullo stato del sistema.

5 Soluzione: x=x(t) (x) p=p(t) Newton Schrödinger

6 Particella libera in moto lungo lasse x Meccanica Classica Sia una particella di massa m che si muove in assenza di potenziale. La sua posizione è data da x. Lespressione dellenergia totale, cioè dellenergia cinetica in funzione del momento lineare: V = 0

7 Particella libera in moto lungo lasse x Meccanica Quantistica V = 0

8 Ψ(x) = e ikx è una soluzione ma anche Ψ(x) = e -ikx è soluzione. La soluzione generale è Ψ(x) = A e ikx + B e -ikx

9 Qualunque valore di k è accettabile Qualunque valore di E è accettabile Energia NON quantizzata Energia è solo E cin p = ± k ħ

10 Ψ(x) = e ikx = cos kx + i sin kx cos kx : onda di lunghezza donda λ = 2π/k k=2π/ λ p = k ħ = 2π/λ ħ = 2π/λ h/2π = h/λ λ = h/p ipotesi di de Broglie Per una particella libera lequazione di Schrödinger implica la relazione di de Broglie. PLAUSIBILITA dellequazione di Schrödinger E comunque un POSTULATO

11 funzione donda Ψ

12 1.HA UNA INTERPRETAZIONE 2.HA DEI VINCOLI 3.CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

13 INTERPRETAZIONE DELLA FUNZIONE DONDA Secondo la teoria ondulatoria della luce, il quadrato dellampiezza di unonda elettromagnetica è proporzionale allintensità della luce –Poiché la luce si comporta come una particella (fotone), lintensità deve essere una misura della probabilità di trovare un fotone in un volume dello spazio Se applichiamo questa idea alle particelle, il valore di | | 2 in un punto è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in quel punto La quantità fisicamente significativa è | | 2 INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA 1

14 Se la funzione donda ha valore (x) nel punto x, la probabilità di trovare una particella tra x e x+dx è proporzionale a | (x)| 2 dx Max Born

15 Interpretazione della funzione donda in 1-D Ψ(x) ampiezza di probabilità: positiva, negativa, complessa Probabilità sempre positiva e reale densità di probabilità Probabilità

16 Ψ = Ψ r + i Ψ i Ψ* = Ψ r - i Ψ i |Ψ| 2 = Ψ r 2 + Ψ i 2 Ψ(x) positiva e negativa |Ψ(x)| 2 = Ψ(x)Ψ(x)* sempre positiva e reale Densità di probabilità Funzione donda Ψ

17 Probabilità Elemento di volume Densità di probabilità = probabilità per unità di volume Interpretazione della funzione donda in 3-D Se la funzione donda di una particella vale Ψ(x,y,z) nel punto (x,y,z), allora la probabilità di trovare particella tra x e x+dx, y e y+dy, z e z+dz, cioè nel volume infinitesimo d = dx dy dz è proporzionale a | (x,y,z)| 2 d P(x,y,z)=Ψ(x,y,z)Ψ(x,y,z) * dx dy dz

18 Voi siete probabilmente qui Meccanica classica : deterministica Meccanica quantistica: probabilistica

19 PARTICELLA LIBERA

20 Tutte le energie sono permesse posizione x Re(Ψ)

21 Proprietà matematica dellequazione di Schrödinger Se Ψ è una soluzione allora N Ψ è pure una soluzione Prova: NORMALIZZAZIONE

22 Interpretazione di Born e normalizzazione della –Deve valere la condizione: La probabilità che la particella sia da qualche parte deve essere 1 –Se la soddisfa questa condizione viene detta normalizzata. –Se la non soddisfa questa condizione, viene moltiplicata per un fattore costante N per normalizzarla

23 1.HA UNA INTERPRETAZIONE 2.HA DEI VINCOLI 3.CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

24 V X Linterpretazione di Born introduce dei vincoli sulla In corrispondenza al punto X ci sia una variazione di potenziale. X La deve essere continua in tutto lo spazio, inclusi i punti in cui si ha variazione del potenziale Se la avesse una discontinuità in X, la probabilità di trovare la particella in X avrebbe due diversi valori se tendiamo ad X da differenti direzioni

25 Ψ non è continua dΨ/dx e d 2 Ψ/dx 2 non sono definite Leq. di Schrödinger non è definita

26 dΨ/dx non è continua Quindi d 2 Ψ/dx 2 non è definita Leq. di Schrödinger non è definita

27 P(x) = Ψ(x) Ψ*(x) non può assumere valori multipli

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29 VINCOLI SULLA FORMA DELLA LEGATI ALLINTERPRETAZIONE DI BOHR 1. deve essere continua 2.La derivata seconda della deve essere definita 3. deve essere a valore singolo 4. deve essere ovunque finita; altrimenti non potrebbe essere normalizzata 2

30 L INTERPRETAZIONE DI BORN E I VINCOLI SULLA Una particella può avere solo certi valori dellEnergia, altrimenti la sarebbe fisicamente inaccettabile ENERGIA QUANTIZZATA I vincoli impediscono di trovare soluzioni accettabili dellequazione di Schrödinger per valori arbitrari dellEnergia

31 1.HA UNA INTERPRETAZIONE 2.HA DEI VINCOLI 3.CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

32 COME OTTENIAMO ALTRE INFORMAZIONI (OLTRE ALLA POSIZIONE) DALLA Ψ ?

33 Le proprietà misurabili di un sistema fisico sono dette osservabili Unosservabile può essere una proprietà statica: massa, durezza, colore, … Unosservabile può essere una variabile dinamica: posizione, momento lineare, … che caratterizza i cambiamenti di stato di un sistema

34 Ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica 2 o POSTULATO Definizione generale di operatore Un operatore è una regola che trasforma una funzione in unaltra funzione

35 La nuova funzione g(x) può essere diversa dalla funzione originale f(x). Se la nuova funzione è un multiplo della funzione originale:  f(x) = λ f(x) f(x) è detta essere unautofunzione delloperatore  con associato autovalore λ Operatore d/dx sin(kx) non è unautofunzione e kx è unautofunzione e lautovalore associato è k

36 OSSERVABILE OPERATORE POSIZIONE x MOMENTO p x E CINETICA E POTENZIALE V(x) E TOTALE E=T+V x V(x)

37 COME SI OTTENGONO LE INFORMAZIONI (OLTRE LA POSIZIONE) DALLA ? 3 3 o POSTULATO In ogni osservazione dellosservabile associata alloperatore, i soli valori che si possono misurare sono gli autovalori ω i che soddisfano allequazione agli autovalori

38 Autovalori ed autofunzioni (operatore)(autofunzione) = (autovalore)(autofunzione) (operatore)(funzione) = (costante)(stessa funzione)

39 Risolvere lequazione di Schrödinger vuol dire trovare gli autovalori e le autofunzioni delloperatore Hamiltoniano per il sistema Se loperatore è loperatore Hamiltoniano, lequazione agli autovalori è lequazione di Schrödinger OPERATORE HAMILTONIANO

40 OPERATORE MOMENTO LINEARE La componente p x del momento lineare della particella è data da: V=0 particella libera. 1) Autofunzione Ψ + (x)=e ikx 2) Autofunzione Ψ - (x)=e -ikx Autovalore p x = kħ Particella si muove per x crescenti Autovalore p x = -kħ Particella si muove per x decrescenti

41 sin(x) sin(2x) ORTOGONALITA DELLE FUNZIONI DI STATI DIVERSI sin(x) e sin(2x) sono autofunzioni di d 2 /dx 2 con autovalori -1 e -4

42 OPERATORE ENERGIA CINETICA E CURVATURA DELLA ALTA CURVATURA ALTA ENERGIA CINETICA BASSA CURVATURA BASSA ENERGIA CINETICA In matematica la derivata seconda di una funzione è una misura della sua curvatura

43 REGIONE CON ALTO CONTRIBUTO A T REGIONE CON BASSO CONTRIBUTO A T POSIZIONE x

44 ENERGIA ENERGIA CINETICA T

45 PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE A B DESCRIZIONE CLASSICAQUANTISTICA PAPA A P A =| A | 2 PBPB B P B =| B | 2 1 FENDITURA

46 2 FENDITURE B AA B DESCRIZIONE CLASSICA P AB = P A + P B DESCRIZIONE QUANTISTICA AB = A + B P AB = | A + B | 2 = | A | 2 + | B | 2 + A * B + B * A P A P B interferenza

47 Importante : in nessun modo possiamo predire dove un elettrone colpirà lo schermo. Possiamo solo predire probabilità.

48 PARTICELLA LIBERA MOTO PER x CRESCENTI + = exp(ikx) DECRESCENTI - = exp(-ikx) Una misura del momento lineare della particella dà +kħ se = + = exp(ikx) oppure -kħ se = - = exp(-ikx). Inizialmente non conosciamo se la particella si muove per x crescenti o decrescenti. Poiché entrambe le direzioni sono ugualmente probabili, non possiamo predire in che direzione la particella si muove. La funzione che la descrive non è quindi unautofunzione. Una funzione donda arbitraria può essere espressa come combinazione lineare delle autofunzioni. = c c - -

49 Una misura del momento lineare della particella dà o +kħ o –kħ, ma non sappiamo quale. Possiamo soltanto predire che la probabilità che dia +kħ è |c + | 2 Non conosciamo in che stato è il sistema finché non lo osserviamo Immediatamente dopo la misura, la funzione donda è una delle autofunzioni delloperatore. La misura cambia la funzione donda Ψ del sistema nellautofunzione Ψ + (o Ψ - ) delloperatore momento lineare con autovalore +kħ (o -kħ) Ψ + Ψ misura Ψ - COLLASSO DELLA FUNZIONE DONDA

50 Un sistema quantistico è descritto da una sovrapposizione di stati Solo dopo la misura il sistema assume uno stato definito. SHUT UP AND CALCULATE R. Feynman Gatto di Schrödinger

51 4 o POSTULATO Il valore atteso è la media pesata di un gran numero di osservazioni della proprietà eseguite su un insieme di sistemi preparati in modo identico. Se il sistema è descritto da unautofunzione Ψ che non è unautofunzione delloperatore Ω, il valore medio o valore atteso dellosservabile è dato da

52 Se uno fa un gran numero di misure di Ω su un insieme di sistemi preparati in modo identico, ottiene un insieme di valori ω 1, ω 2, …, ω N. La media di Ω è data dalla regola: Il 4 o postulato della meccanica quantistica afferma che lintegrale e la sommatoria danno lo stesso valore, che è il valore atteso.

53 Se è unautofunzione di Ω Ogni osservazione di Ω da come risultato ω i = ω i

54 Se non è unautofunzione di Ω 1 0

55 1.Quando Ω è misurato su un singolo membro di un insieme, il risultato è uno degli autovalori di Ω, ma non può essere predetto in anticipo. 2.Lautovalore ω i sarà ottenuto in una singola misura con probabilità c i 2. 3.Per singole misure ci sono specifici valori di Ω che sono possibili, ω 1, ω 2, …, ω N, ma su un insieme il valore atteso di può essere un valore continuo.

56 Postulato 1: una particella è descritta mediante una funzione donda (r,t) Postulato 2: ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica Postulato 3: Postulato 4: POSTULATI

57 "The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of..the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations much to complicated to solve." `P.A.M. Dirac (1929)

58 Un elettrone in moto attorno al nucleo Moto circolare : lelettrone accelera Cariche accelerate emettono radiazione Lelettrone perde energia Cade sul nucleo in circa secondi Variando il moto la frequenza emessa varia con continuità Il modello planetario non conduce ad atomi stabili +Ze -e F ATOMO e FISICA CLASSICA

59 Alla particella è associata unonda (a) Solo onde di lunghezza donda opportuna possono generare onde stazionarie (chiudendosi su se stesse danno interferenza positiva) (b) Altrimenti le onde danno interferenza negativa e si annullano = h/mv solo certi valori di energia esistono ATOMO e MECCANICA QUANTISTICA

60 Supponiamo di conoscere esattamente il momento della particella Ψ(x) = Ae ikx la particella si muove verso destra con momento p x = +kħ. Quale è la posizione della particella? Ψ* Ψ = A 2 e -ikx e ikx = A 2 Cè una ugual probabilità di trovare la particella in qualunque punto dellasse x CONCLUSIONE: Conosciamo il momento della particella esattamente Ma non sappiamo NULLA sulla sua posizione

61 Supponiamo di conoscere esattamente la posizione della particella Posizione della particella

62 Per ottenere una localizzata occorre fare una combinazione lineare di funzioni sin(kx) o cos(kx) (oppure e ikx e e -ikx ) con diversi k Ogni funzione e ikx corrisponde ad un diverso momento lineare Più localizziamo la particella meno conosciamo il suo momento CONCLUSIONE: Conosciamo la posizione della particella esattamente Ma non sappiamo NULLA del suo momento

63 Fotone Microscopio Elettrone PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG Illuminiamo lelettrone e riveliamo la luce riflessa con un microscopio Lincertezza minima sulla posizione è determinata dalla lunghezza donda della luce Per determinare la posizione accuratamente, è necessario usare luce di lunghezza donda corta

64 E = hν =hc/λ, un fotone con lunghezza donda corta ha energia grande Quindi tramette un impulso grande allelettrone Ma per determinare il suo momento accuratamente, lelettrone deve ricevere un impulso debole Questo vuol dire usare luce di lunghezza donda lunga Luce di lunghezza donda corta: misura accurata della posizione, ma non del momento Luce di lunghezza donda lunga: misura accurata del momento, ma non della posizione

65 Misura della posizione di un elettrone Lazione di misurare influenza lelettrone, viene trasmesso un impulso e viene disturbata la posizione ed il momento della particella. Essenza del principio di indeterminazione.

66 Misure della posizione

67 Lesperimento assume che, mentre prima dellosservazione abbiamo valori ben definiti, è latto di misurare che introduce lincertezza disturbando la posizione e il momento della particella. Oggigiorno lopinione prevalente è che lincertezza quantistica (la mancanza di determinismo) sia intrinseca alla teoria.

68 Ruolo dellOsservatore in Meccanica Quantistica Losservatore non è obiettivo e passivo Latto di osservare cambia il sistema fisico irrevocabilmente Questo è noto come realtà soggettiva

69 PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG E impossibile specificare SIMULTANEAMENTE sia la posizione che il momento di una particella L interpretazione quantitativa del principio di indeterminazione è: Indeterminazione nel momento Indeterminazione nella posizione posizione momento Se x oppure p x tendono a zero, laltra osservabile deve tendere ad infinito.

70 Non possiamo determinare esattamente e simultaneamente variabili coniugate come posizione e momento. Tuttavia Una precisione arbitraria è possibile in linea di principio per la posizione in una direzione e il momento in unaltra …

71 Implicazioni E impossibile conoscere simultaneamente ed esattamente sia la posizione che il momento, cioè Δx=0 e Δp=0 Queste incertezze sono inerenti nel mondo fisico e non hanno nulla a che fare con labilità dellosservatore Poiché h è così piccolo, queste incertezze non sono osservabili nelle normali situazioni di ogni giorno

72 Il tempo e lenergia Se un sistema permane in uno stato per un tempo t, lenergia di questo sistema non può essere determinata più accuratamente di un errore E. Questa indeterminazione è di importanza fondamentale in spettroscopia

73 Un elettrone in n = 3 decade spontaneamente ad un livello inferiore dopo una vita media ½ ~ s Le transizioni fra i livelli energetici degli atomi non sono linee perfettamente sottili in frequenza. n = 3 n = 2 n = 1 Intensità Frequenza Esiste una corrispondente dispersione nelle frequenza emesse. Larghezza naturale della linea

74 Se la costante di Planck fosse molto più grande...


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