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Corso di Chimica Fisica II 2011 Prof. Marina Brustolon 6. La particella nella scatola.

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Presentazione sul tema: "Corso di Chimica Fisica II 2011 Prof. Marina Brustolon 6. La particella nella scatola."— Transcript della presentazione:

1 Corso di Chimica Fisica II 2011 Prof. Marina Brustolon 6. La particella nella scatola

2 La particella nella scatola

3 Una scatola monodimensionale Consideriamo il moto lungo x di una particella di massa m costretta in una scatola fatta in questo modo: Dentro la scatola il potenziale è zero V=0 0L x Come sarà la sua funzione donda? Fuori dalla scatola il potenziale è infinito V= Fuori dalla scatola il potenziale è infinito V=

4 Dentro la scatola le condizioni del moto sono come quelle della particella libera: quindi, le autofunzioni e gli autovalori saranno della forma Riscriviamo la soluzione generale come: dove A e B sono costanti. x 0L V=0 Tutte le funzioni vanno bene per descrivere il moto della particella libera… Ma…Oh cielo! Mi viene un dubbio angoscioso! Ma siamo sicuri che tutte le funzioni vadano bene per descrivere il moto della particella anche in questo caso??!

5 Non tutte le funzioni possono descrivere uno stato fisico reale! Come abbiamo già visto ci sono funzioni che non possono essere funzioni donda perché non rappresentano stati fisici possibili. E infinita in una regione finita Non è a valore singolo La sua pendenza è discontinua La funzione è discontinua

6 Le condizioni al contorno Non tutte le funzioni della famiglia di autofunzioni dellHamiltoniano della particella libera sono funzioni accettabili per la particella nella scatola. Vediamo perché. Ora occupiamoci delle funzioni donda per la particella fuori dalla buca. Fingiamo che inizialmente il potenziale fuori della scatola non sia infinito, ma molto grande. Avremo allora (V-E) > 0 al di fuori della buca. In questo caso, la curvatura della funzione sarebbe negativa, se (x) è positiva, o positiva, se (x) è negativa. Ma quello che importa è che la curvatura resterebbe sempre dello stesso segno allontanandosi dalla scatola, e quindi la continuerebbe a crescere, tendendo a +, o a decrescere, tendendo a -. Una funzione di questo genere sarebbe inaccettabile, cioè non potrebbe rappresentare uno stato reale della particella. Qual è lunica conclusione possibile? Riscriviamo leq. di Schroedinger così: Curvatura della funzione

7 Se non può essere (x) > 0, né (x) < 0, allora deve essere (x)=0 ! x 0L V=0 (x)=0 Ma allora, perché la funzione sia continua, se è uguale a zero appena fuori dalla scatola, deve essere = 0 anche sulle pareti! Ecco quindi le due condizioni al contorno: (0) = 0, (L) = 0

8 Leffetto delle condizioni al contorno (0) = 0 (L) = 0 Quindi deve essere B=0 solo se k L = n con n = 1,2,... Quindi, le due condizioni al contorno hanno limitato le funzioni compatibili a quelle della forma Di conseguenza, ricordando che lenergia è : Non sono più possibili tutte le energie!! Compare un numero quantico: n

9 Le energie permesse Notate che per la particella libera tutte le energie erano permesse, perché non cerano restrizioni: la particella libera può avere qualsiasi energia cinetica (si è visto che per esempio lelettrone viene accelerato inizialmente da una differenza di potenziale, che può essere scelta arbitrariamente). Viceversa, per la particella nella scatola le condizioni al contorno impongono restrizioni alle funzioni donda e quindi allenergia, che è ora quantizzata. Appare per la prima volta un numero quantico, che è il numero intero n =1,2,3... Tutti gli stati della particella dei quali ci occuperemo dora in poi saranno stati quantici. Questi hanno solo alcune energie permesse, caratterizzate da uno o più numeri quantici. Il numero di numeri quantici dipende dai gradi di libertà del sistema.

10 La forma delle autofunzioni n=1 n=2n=3n=4 n=5 1. Le funzioni con n pari e dispari sono rispettivamente antisimmetriche e simmetriche rispetto allinversione di direzione dellasse x. 2. La funzione con n=1, cioè quella che corrisponde allenergia minima, non diventa mai = 0 (a parte per x=0 e x=L), cioè non ha nodi. Poi, al crescere di n, aumenta il numero di nodi. 3. Si noti come, al crescere dei valori dellenergia (che è solo cinetica) aumenti la curvatura delle funzioni. Le funzioni vanno normalizzate! Cerchiamo il valore di A che normalizza la funzione. Perché sia deve essere:

11 Le funzioni donda Si usano spesso grafici in cui si fa vedere la forma della funzione donda o il suo quadrato in corrispondenza del rispettivo livello energetico. Probabilità di trovare la particella ai diversi valori di x n=1 n=2 n=3 n=4 E

12 Esercizio Osservando che la lunghezza donda delle funzioni della particella nella scatola è uguale a 2L/n, usare la relazione di De Broglie per ottenere lenergia degli stati. Lenergia è solo cinetica (V=0 dentro la scatola), quindi si può usare la relazione di De Broglie per ottenere il momento lineare, e calcolare lenergia cinetica: Come trovato risolvendo leq. di Schroedinger

13 Altre proprietà della particella nella scatola Come abbiamo già visto, le funzioni del tipo sin x non sono autofunzioni del momento lineare. Quindi la particella nella scatola non ha un valore definito del momento lineare (si può immaginare come unonda stazionaria, che quindi non corrisponde ad un moto uniforme in una direzione). Come abbiamo visto, la particella nella scatola non può avere energia = 0. Lenergia minima, che corrisponde a n=1, è chiamata energia del punto zero. Questa proprietò può essere messa in relazione con il principio di indeterminazione: se lenergia fosse zero, il momento sarebbe p=0, quindi perfettamente definito. Ma poiché lincertezza nella posizione della particella non è infinita, il momento non può essere perfettamente definito. La probabilità di trovare la particella quantistica in diversi punti della scatola, è diversa per le diverse funzioni, e diversa da punto a punto. Per esempio non potrà mai trovarsi nei punti di nodo. Si noti il diverso comportamento di una particella classica, che in una scatola potrebbe essere trovata con eguale probabilità ovunque. Nel grafico è riportata la 40 : ad alti n il comportamento è via via più simile a quello classico principio di corrispondenza.

14 Ma cè qualche caso reale che assomigli alla particella nella scatola? Negli idrocarburi insaturi con legami coniugati, gli elettroni dei legami sono delocalizzati su tutta la molecola, sono cioè mobili lungo tutta la molecola. Vediamo per esempio la molecola del butadiene. C C C C H H H H H H Gli elettroni sono mobili

15 Esercizio Trattando questo poliene coniugato come una scatola per gli elettroni, calcolare la differenza di energia tra il primo e il secondo livello energetico. Ragionamento. Gli elettroni dei legami si considerano intrappolati nella scatola costituita dai legami C-C. La distanza C-C nelle catene coniugate è di circa 130 pm, quindi essendoci qui 7 legami, otteniamo una scatola di circa 1000 pm, cioè 1 nm. Primo livello, n=1 Secondo livello, n=2

16 Immaginiamo una transizione dellelettrone dal primo livello al secondo n=4 n=3 n=2 n=1 h h = E

17

18 Alcuni coloranti naturali La scatola è molto più estesa, L è più grande, le differenze di energia sono più piccole, la frequenza delle transizioni elettroniche si sposta dallUV al visibile.

19 La particella nella scatola bidimensionale

20 Vediamo la forma delle funzioni per la scatola quadrata (L 1 =L 2 ) Questa è la che corrisponde allenergia più bassa. E 11 L 1 e L 2 eguali

21 piano nodale E 12

22 Questa funzione donda corrisponde ad unenergia uguale alla precedente, ed è caratterizzata dai numeri quantici 2,1. E 21

23 Questa funzione donda corrisponde ad unenergia più alta della precedente, ed è caratterizzata dai numeri quantici 2,2. E 22

24 Particella nella scatola a pareti finite Energia potenziale

25 infiniti livelli nulla sulle pareti livelli in numero finito (a energie più alte lenergia è un continuo) simile come forma, ma penetra nelle pareti (tunneling).

26 Modo di costruire una buca quantica (quantum well) con metodi di ingegneria su nanoscala AlGaAs GaAs AlGaAs U(x) x Al As Ga Un elettrone ha meno energia in GaAs che in AlGaAs. Può quindi essere intrappolato nella buca, e i suoi livelli di energia diventano quantizzati. Si creano così nuove proprietà elettriche e ottiche, che vengono sfruttate nella costruzione di dispositivi. Celle effusive Processo: epitassia con fasci molecolari


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