Physics 2211: Lecture 22, Pg 1 Agenda di oggi Dinamica del centro di massa Momento lineare Esempi.

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1 Physics 2211: Lecture 22, Pg 1 Agenda di oggi Dinamica del centro di massa Momento lineare Esempi

2 Physics 2211: Lecture 22, Pg 2 Due blocchi sono connessi ad una molla (k=292 N/m) come mostrato. Tutte le superfici sono prive di attrito. Il sistema parte da fermo quando la molla si trova alla sua lunghezza di equilibrio. Se M=6.4 kg, Qualè lenergia cinetica dei due blocchi dopo che la massa più grande si è mossa di 0.12 m lungo il piano inclinato? (Nota q=40 °) (1) -2.1 J (2) 7.0 J (3) -7.0 J (4) -4.9 J (5) 0 J (6) 6.3 J 3M M 16432

3 Physics 2211: Lecture 22, Pg 3 16212 (a) R Una massa (M=0.82 kg) scivola su di un anello privo di attrito (R= 1.4 m) su di una circonferenza verticale. A punto (a), la velocità della massa è 7.94 m/s. Qualè la forza dellanella sulla massa, quando la massa raggiunge il top? (Nota =37 °) (1) 3 N su (2) 3 N giù (3) 8 N giù (4) 0 N (5) 1.5 N su (6) 1.5 N giù

4 Physics 2211: Lecture 22, Pg 4 Sistema di Particelle: Centro di Massa Il centro di massa (CM) di un oggetto si trova nel punto dove un oggetto pùò liberamente essere incernierato. La Gravità agisce sul CM di un oggetto Se incerneriamo loggetto, esso si orienterà in modo che il CM sia direttamente al di sotto del punto di incernieramento. Questo fatto può essere usato per trovare il CM di oggetti irregolari. + CM pivot + CM pivot + CM mg

5 Physics 2211: Lecture 22, Pg 5 Sistema di Particelle: Centro di Massa Appendiamo loggetto per diversi punti di sospensione e vediamo dove si intersecano le linee verticali tracciate per ciascun punto di sospensione. ! pivot + CM l Il punto di intersezione deve essere al CM

6 Physics 2211: Lecture 22, Pg 6 Velocita and Accelerazione del Centro di Massa r Se le sue particelle si muovono, si può muovere anche il CM del sistema. Supponiamo di conoscere la posizione r i di ogni particella nel sistema in funzione del tempo. So: And: l La velocità e laccelerazione del CM è la media pesata della velocità e dellaccelerazione di tutte le particelle.

7 Physics 2211: Lecture 22, Pg 7 Centro di Massa e II Legge di Newton La II legge di Newton applicata al moto del CM : Questa ha interessanti implicazioni: Ci dice che il CM di un corpo esteso si comporta come un semplice punto materiale sotto lazione di una forza esterna: FA Possiamo usarla per correlare F e A come siamo soliti fare.

8 Physics 2211: Lecture 22, Pg 8 Quantità di moto o Momento Lineare: Definizione: Per una singola particella la quantità di moto p Definizione: Per una singola particella la quantità di moto p è definita come: La II legge di Newton : Fa F = ma pv p = mv pv (p è un vettore pochè v è un vettore). così p x = mv x etc. dvdv v p Le unità di misura della quantità di moto sono kg m/s.

9 Physics 2211: Lecture 22, Pg 9 Quantità di moto: l Per un sistema di particelle la quantità di moto totale è la somma vettoriale delle quantità di moto delle singole particelle: Ma noi abbiamo mostrato che Così

10 Physics 2211: Lecture 22, Pg 10 Quantità di moto o Momento Lineare: Così la quntità di moto totale di un sistema di particelle è proprio la massa totale x la velocità del CM. Osserviamo: Siamo interessati a quindi ci interessa

11 Physics 2211: Lecture 22, Pg 11 Quantità di moto o Momento Lineare: Supponiamo di avere un sistema di tre particelle. Ciascuna particella interagisce con tutte le altre come si vede in figura. Inoltre cè una forza esterna che agisce sulla particella 1. m1m1 m3m3 m2m2 F F 13 F F 31 F F 32 F F 23 F F 21 F F 12 F F 1,EXT (Poichè le altre si cancellano a coppie per la III legge di Newton) Tutte le forze interne si cancellano !! Solo le forze esterne agiscono !!

12 Physics 2211: Lecture 22, Pg 12 Quantità di moto o Momento Lineare: Solo forze esterne agiscono! m1m1 m3m3 m2m2 F F 1,EXT Che è lo stesso di : La II legge di Newton applicata ai sistemi!

13 Physics 2211: Lecture 22, Pg 13 Moto del Centro di Massa: ricapitolazione Abbiamo la seguente legge per il moto del CM: Questa ha diverse interessanti implicazioni : Ci dice che il CM di un corpo esteso si comporta come un punto materialesotto lazione di forze esterne : FA Possiamo correlare F e A come abbiamo sempre fatto. F Diciamo che se F EXT = 0, la quantità di moto totale del sistema non può variare. La quantità di moto totale del sistema si conserva se non agiscono forze esterne.

14 Physics 2211: Lecture 22, Pg 14 Conservazione della quantità di moto Il concetto di conservazione della quantità di moto è uno dei più importanti principi in fisica. Questa è equazione componente (vettore). Possiamo applicarla ad ogni direzione in cui non è applicata alcuna forza esterna. Vedremo che spesso avremo conservazione della quantità di moto anche quando non cè conservazione dellenergia.

15 Physics 2211: Lecture 22, Pg 15 Esempio: Astronauti e fune Due astronauti fermi nello spazio esterno sono collegati da una fune luminosa. Essi iniziano a tirare uno verso laltro. Dove si incontrano? M = 1.5m m

16 Physics 2211: Lecture 22, Pg 16 Esempio: Astronauti e fune... l Partono da fermi, così V CM = 0. l V CM rimane zero perchè non ci sono forze esterne. l così, il CM non si muove! l Si incontrano al CM. Trovando il CM: M = 1.5m m CM L Se supponiamo che lastronauta sulla sinistra sia a x = 0: x=0 x=L

17 Physics 2211: Lecture 22, Pg 17 Un uomo pesa esattamente quanto la sua canoa lunga 20 feet. Inizialmente si trova al centro della canoa ferma, ad una distanza di 20 feet dalla riva. Successivamente cammina verso la riva fino a raggiungere la fine della canoa. Qualè la nuova distanza dalla riva? (Non cè forza orizzontale sulla canoa da parte dellacqua). 20 ft ? ft 20 ft (1) (2) (3) (1) 10 ft (2) 15 ft (3) 16.7 ft before after

18 Physics 2211: Lecture 22, Pg 18 X X l Poichè luomo e la canoa hanno la stessa massa, il CM del sistema uomo-canoa sarà a metà strada fra il CM delluomo e il CM della canoa. x 20 ft l Inizialmente il CM del sistema è a 20 ft dalla riva. CM of system

19 Physics 2211: Lecture 22, Pg 19 l Poichè sulla canoa non agisce alcuna forza nella direzione x, la posizione del CM del sistema non può variare! 20 ft x X X CM of system l Quindi, luomo alla fine si trova 5 ft a sinistra del CM del sistema, e il centro della canoa si trova 5 ft a destra. 10 ft 5 ft 15 ft l Egli finisce col muoversi 5 ft verso la riva (lontana 15 ft).

20 Physics 2211: Lecture 22, Pg 20 Ricapitolazione della lezione di oggi Velocità e accelerazione del centro di massa Dinamica del centro di massa Quantità di moto o momento lineare Esempi