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Complementi di dinamica

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Presentazione sul tema: "Complementi di dinamica"โ€” Transcript della presentazione:

1 Complementi di dinamica
Prof. Roberto Capone Complementi di dinamica Corso di Fisica e Geologia โ€“mod. Fisica 2013/2014 Corso di laurea in Ingegneria edile

2 La quantitร  di moto La seconda legge di Newton, che mette in relazione il moto di un corpo alle cause che generano tale moto, si esprime formalmente attraverso la relazione ๐น=๐‘š๐‘Ž Tale formulazione non si deve a Newton ma ad Eulero; infatti Newton non si riferรฌ mai alla massa e allโ€™accelerazione ma alla variazione di moto (oggi comunemente detta quantitร  di moto): โ€œMutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimiturโ€ ovvero, un punto materiale (cioรจ un corpo di dimensioni trascurabili rispetto al sistema di riferimento in esame e contemporaneamente dotato di massa) al quale sia applicata una forza, varia la quantitร  di moto in misura proporzionale alla forza, e lungo la direzione della stessa.

3 Impulso e quantitร  di moto
Si consideri un punto materiale che in un sistema di riferimento inerziale si muove sottoposto alla forza risultante F: la sua equazione del moto รจ dunque: ๐น=๐‘š๐‘Ž Lโ€™accelerazione puรฒ essere scritta come: ๐‘Ž= ๐‘‘๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ก Pertanto: ๐น=๐‘š ๐‘‘๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ก Moltiplicando per dt e integrando tra due istanti qualunque t1 et2 si ottiene: ๐‘ก 1 ๐‘ก 2 ๐นโˆ™๐‘‘๐‘ก = ๐‘ก 1 ๐‘ก 2 ๐‘šโˆ™๐‘‘๐‘ฃ Lโ€™integrale a primo membro viene detto impulso della forza F fra gli istanti t1 et2 e lo indicheremo: ๐ผ 12 = ๐‘ก 1 ๐‘ก 2 ๐นโˆ™๐‘‘๐‘ก da cui si ottiene ๐ผ 12 =๐‘š ๐‘ฃ 2 โˆ’๐‘š ๐‘ฃ 1 Teorema dellโ€™impulso: โ€œ lโ€™impulso della forza agente su un punto materiale tra gli istanti t1 et2 รจ pari alla variazione che la quantitร  di moto del punto subisce nello stesso intervallo di tempoโ€.

4 Impulso di una forza Se in un piano cartesiano poniamo la forza in funzione del tempo abbiamo il seguente diagramma riferito ad una forza costante a cui รจ soggetto un corpo. Lโ€™area della regione di piano sottesa alla curva (evidenziata in giallo) รจ lโ€™impulso della forza relativo a quellโ€™intervallo di tempo.

5 Momento della forza Ilย momento meccanico, indicato conย Mย o, in ambito anglosassone, conย  ฯ„ย (dall'ingleseย torque), esprime l'attitudine di unaย forzaย a imprimere la rotazione ad un oggetto attorno ad un punto (nel piano) o ad un asse (nello spazio). Costituisce quindi ilย momentoย della forza. Il momento meccanico รจ unoย pseudovettore, non unoย scalareย come l'energiaย o ilย lavoro. Per questo motivo l'unitร  di misuraย del momento meccanico nelย SIย รจ Nยทm o Nm (newton per metro), non ilย joule, anche se le due unitร  hanno le stesse dimensioni fisiche.

6 Il momento: definizione operativa
Ilย momento meccanico polareย rispetto ad un determinato punto r dettoย poloย oย centro di riduzioneย รจ definito inย meccanica newtonianaย come ilย prodotto vettorialeย tra ilย vettoreย posizioneย (rispetto al polo stesso) e la forza: ๐‘€=๐‘Ÿร—๐น=๐‘Ÿโˆ™๐นโˆ™๐‘ ๐‘–๐‘›๐œƒ=๐นโˆ™๐‘ Avendo indicato con B il braccio della forza, ovvero la distanza del punto di applicazione del vettore forza dal polo di riferimento. Il vettoreย Mย รจ perpendicolare al piano definito daย Fย e daย r; il verso, come espresso dallaย regola della mano destra, รจ quello di un osservatore che vedeย ruotareย Fย in senso antiorario. Seย Fย edย rย sono ortogonali tra loro, il braccio (vediย leva) si identifica conย r, e il modulo del momento รจ massimo. Il momento puรฒ essere nullo se la forza o il braccio sonoย nulli, oppure seย Fย รจ parallela aย r.

7 Il momento angolare Si consideri un punto materiale P che si muova in un sistema di riferimento inerziale. Sia ๐‘ž=๐‘š๐‘ฃ la sua quantitร  di moto e scegliamo un punto ฮฉ di riferimento. Si chiama momento angolare o momento della quantitร  di moto del punto P rispetto al polo ฮฉ il vettore: ๐‘=ฮฉ๐‘ƒร—๐‘ž Ci proponiamo di stabilire quale sia lโ€™equazione dinamica che governa p.

8 Dal secondo principio della dinamica, si ha:
๐น= ๐‘‘๐‘ž ๐‘‘๐‘ก Moltiplicando vettorialmente a sinistra ambo i membri per il vettore ฮฉ๐‘ƒ otteniamo: ฮฉ๐‘ƒร—๐น= ฮฉ๐‘ƒร— ๐‘‘๐‘ž ๐‘‘๐‘ก Il primo membro di questa equazione prende il nome di momento della forza F rispetto al polo ฮฉ: ๐‘€=ฮฉ๐‘ƒร—๐น Dunque, per quanto detto sopra: ๐‘€= ฮฉ๐‘ƒร— ๐‘‘๐‘ž ๐‘‘๐‘ก Lโ€™espressione a destra puรฒ anche essere scritta come: ๐‘‘(ฮฉ๐‘ƒร—๐‘ž) ๐‘‘๐‘ก = ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ก = ๐‘‘ฮฉ๐‘ƒ ๐‘‘๐‘ก ร—๐‘ž+ฮฉ๐‘ƒร— ๐‘‘๐‘ž ๐‘‘๐‘ก da cui ๐‘€= ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ก โˆ’ ๐‘‘ฮฉ๐‘ƒ ๐‘‘๐‘ก ร—๐‘ž

9 Si puรฒ ora osservare che ๐‘‘ฮฉ๐‘ƒ ๐‘‘๐‘ก =๐‘ฃโˆ’ ๐‘ฃ ฮฉ cioรจ: ๐‘€= ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ก โˆ’(๐‘ฃโˆ’ ๐‘ฃ ฮฉ )ร—๐‘ž
๐‘€= ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ก โˆ’(๐‘ฃโˆ’ ๐‘ฃ ฮฉ )ร—๐‘ž Osservando che i vettori v e q sono paralleli, per cui il loro prodotto vettoriale รจ nullo, si ha: ๐‘€= ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ก + ๐‘ฃ ฮฉ ร—๐‘ž Ma ๐‘ฃ ฮฉ รจ la velocitร  del polo ฮฉ nel sistema di riferimento inerziale considerato e nel caso in cui un punto sia fermo nel sistema di riferimento in esame si ottiene: ๐‘€= ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ก โ€œIn ogni sistema di riferimento inerziale, se si sceglie un punto fisso come polo, il momento della forza risultante agente su un punto materiale รจ pari alla derivata rispetto al tempo del momento angolare del punto materiale stessoโ€ (Teorema del momento angolare o teorema del momento della quantitร  di moto)

10 Applicazione: il pendolo semplice
Se scegliamo come polo il punto di sospensione O, potremo scrivere, relativamente al momento esercitato dalle forze: ๐‘š=๐‘‚๐‘ƒร—๐น=๐‘‚๐‘ƒร— ๐œ+๐‘š๐‘” =๐‘‚๐‘ƒร—๐‘š๐‘” Avendo tenuto presente che OP e ฯ„ sono fra loro paralleli. ๐‘‚๐‘ƒร—๐‘š๐‘”= ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ก = ๐‘‘ ๐‘‚๐‘ƒร—๐‘š๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ก โˆ’๐‘™๐‘š๐‘”๐‘ ๐‘–๐‘›๐œƒ=๐‘™๐‘š ๐‘‘๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ก =๐‘™๐‘š ๐‘‘ ๐‘™ ๐‘‘๐œƒ ๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ก = ๐‘™ 2 ๐‘š ๐‘‘ 2 ๐œƒ ๐‘‘ ๐‘ก 2

11 Eseguendo le opportune semplificazioni si ottiene:
๐‘‘ 2 ๐œƒ ๐‘‘ ๐‘ก 2 + ๐‘” ๐‘™ ๐‘ ๐‘–๐‘›๐œƒ=0 Nello scrivere questa equazione si รจ tenuto conto che: Il vettore OP (di modulo pari a l) e il vettore mg formano un angolo ๐œƒ: il modulo del loro prodotto vettoriale vale pertanto ๐‘™๐‘š๐‘”๐‘ ๐‘–๐‘›๐œƒ ; La proiezione lungo lโ€™asse z di tale prodotto vettoriale vale โ€“๐‘™๐‘š๐‘”๐‘ ๐‘–๐‘›๐œƒ; La velocitร  v del punto materiale รจ tangenziale alla circonferenza di raggio l e centro O ed รจ dunque ortogonale a OP. Inoltre, ๐‘ฃ=๐‘‚๐‘ƒโˆ™ ๐‘‘๐œƒ ๐‘‘๐‘ก =๐‘™โˆ™ ๐‘‘๐œƒ ๐‘‘๐‘ก . Per valori di ฮธ molto piccoli, si puรฒ approssimare sinฮธ=ฮธ, ottenendo cosรฌ lโ€™equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti: ๐‘‘ 2 ๐œƒ ๐‘‘ ๐‘ก 2 + ๐‘” ๐‘™ ๐œƒ=0 La soluzione di tale equazione ci fornisce lโ€™espressione: ๐œƒ ๐‘ก = ๐œƒ 0 ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐œ”๐‘ก+๐œ‘ che esprime come varia lโ€™angolo ฮธ in funzione del tempo.

12 ๐œƒ ๐‘ก = ๐œƒ 0 ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐œ”๐‘ก+๐œ‘ Un moto, la cui legge oraria รจ rappresentata da una espressione siffatta prende il nome di moto oscillatorio armonico: ๐œ”= ๐‘” ๐‘™ rappresenta la pulsazione del moto armonico; lโ€™angolo ฮธ rappresenta lโ€™ampiezza angolare del moto; allโ€™istante t=0, lโ€™angolo ฮธ= ฮธ0 sin ๐œ‘ , dove ๐œ‘ rappresenta la fase iniziale; il moto si ripete con regolaritร  ogni qualvolta trascorre un tempo caratteristico T detto periodo legato alla pulsazione dalla relazione: ๐‘‡= 2๐œ‹ ๐œ” =2๐œ‹โˆ™ ๐‘™ ๐‘”

13 PROBLEMI Dโ€™URTO Nell'operaย De motu corporum ex percussioneย (pubblicata postuma nel 1703) a conclusione di accurate ricerche protrattesi per vari anni Huygens espose, dandone notevoli dimostrazioni, le sue classiche leggi sull'urtoย dei corpi elastici. Nell'ambito di queste indagini formulรฒ il principio della conservazione della forza viva. Si definisce urto una interazione tra due particelle, (senza che necessariamente avvenga il contatto) che avviene in un intervallo di tempo talmente breve da potersi considerare trascurabili le azioni di eventuali forze esterne agenti sul sistema . Classificazione: Elastico si conserva l'energia meccanicaย totale del sistema Anelastico l'energia meccanicaย totale non si conserva Completamente anelastico I due corpi procedono insieme dopo lโ€™urto

14 Urto elastico Consideriamo due corpi approssimabili comeย punti materialiย che urtino frontalmente. Mettiamoci in un sistema di riferimentoย S. Indichiamo con: v1iย  la velocitร  iniziale del primo corpo; v2iย la velocitร  iniziale del secondo corpo vifย la velocitร  finale del primo corpo; v2fย la velocitร  finale del secondo corpo ย m1 la massa del primo corpo; m2 ย la massa del secondo corpo Imponiamo la conservazione dell'energia cineticaย Kย e dellaย quantitร  di motoย q; otteniamo il sistema: ๐พ ๐‘– = ๐พ ๐‘“ ๐‘ž ๐‘– = ๐‘ž ๐‘“

15 Urto completamente anelastico
Nel caso poi siaย anelastico totale, i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere considerati come un unico corpo ed essi viaggiano con la stessa velocitร , come puรฒ essere il caso di un'automobile che urta contro un camion e rimane incastrata in esso: nel sistema, dopo l'urto, automobile e camion si fondono in un unico corpo, che continua a viaggiare con una velocitร ย Vย diversa dalla velocitร  iniziale dell'automobile e da quella del camion. La legge di conservazione dellaย quantitร  di motoย del sistema รจ: ๐‘ž ๐‘ก = ๐‘€โˆ™๐‘ฃ=๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ก per gliย urti anelastici totali, si puรฒ scrivere ๐‘š 1 ๐‘ฃ 1 + ๐‘š 2 ๐‘ฃ 2 = ๐‘š 1 + ๐‘š 2 ๐‘‰ dove ๐‘š 1 ๐‘ฃ 1 ย ย eย  ๐‘š 2 ๐‘ฃ 2 ย rappresentano le quantitร  di moto prima dell'urto rispettivamente del primo corpo di massaย m1ย e del secondo corpo di massaย m2, mentre ๐‘š 1 + ๐‘š 2 ๐‘‰ย รจ la quantitร  di moto dell'intero sistema dopo l'urto, cioรจ quando i due corpi si fondono in un unico corpo di massa pari alla somma delle precedenti, V ricavabile dalla precedente espressione, rappresenta la velocitร  con cui si muovono i due corpi insieme dopo l'urto

16 Il pendolo balistico Il pendolo balistico รจ un dispositivo che era usato per misurare la velocitร  dei proiettili prima dellโ€™introduzione dei cronometri elettronici. Si tratta di un voluminoso blocco di legno di massa m2 sospeso a due lunghe funi; un proiettile di massa m1 รจ sparato contro il blocco, nel quale rimane incastonato. Il sistema blocco+proiettile oscilla quindi verso destra e il centro di massa del sistema si alza per una distanza verticale h prima che il pendolo arrivi ad arrestarsi momentaneamente alla massima elongazione. Qual era la velocitร  del proiettile immediatamente prima la collisione? 1 2 ๐‘š 1 + ๐‘š 2 ๐‘‰ 2 = ๐‘š 1 + ๐‘š 2 ๐‘”โ„Ž ๐‘ฃ= ๐‘š 1 + ๐‘š 2 ๐‘š ๐‘”โ„Ž ๐‘š 1 ๐‘ฃ= ๐‘š 1 + ๐‘š 2 ๐‘‰

17 Esercizio Un proiettile di massa m=5g viene sparato orizzontalmente in un blocco di legno, di dimensioni trascurabili e massa M=3kg, fermo su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e la superficie orizzontale รจ md = Il proiettile rimane attaccato al blocco, che scivola di d=25 cm lungo la superficie prima di fermarsi. Calcolare ยท Il lavoro della forza di attrito tra il blocco di legno e la superficie orizzontale durante lo spostamento del blocco di legno ยท Il tempo impiegato dal blocco di legno per fermarsi ยท La velocitร  con cui รจ sparato il proiettile ยท Lโ€™energia dissipata dal proiettile nellโ€™urto con il blocco di legno


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