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Claudio Cinti SCHEMA A BLOCCHI DEL CALCOLO INTEGRALE CALCOLO INTEGRALE PRIMITIVEINT. INDEF.METODI INTMETODI INT.INT. DEF.CALC. AREE DerivateEsempi Int.Elementari.

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1 Claudio Cinti SCHEMA A BLOCCHI DEL CALCOLO INTEGRALE CALCOLO INTEGRALE PRIMITIVEINT. INDEF.METODI INTMETODI INT.INT. DEF.CALC. AREE DerivateEsempi Int.Elementari Int.Esatti Int.Quasi Esatti Decompos.Sostituz.Per partiF.raz.fratteSost.particolari Esempi Casi speciali 1

2 Claudio Cinti CALCOLO INTEGRALE 1.PRIMITIVE DI UNA FUNZIONEPRIMITIVE DI UNA FUNZIONE 2.INTEGRALI INDEFINITIINTEGRALI INDEFINITI 3.METODI DI INTEGRAZIONEMETODI DI INTEGRAZIONE 4.INTEGRALI DEFINITIINTEGRALI DEFINITI 5.CALCOLO DI AREECALCOLO DI AREE 2 Schema

3 Claudio Cinti PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE Definizione: si chiama primitiva di una funzione f(x), ognuna delle funzioni, F(x), la cui derivata è la stessa f(x).derivata Cioè: F(x) è una primitiva di f(x) se Esempi F(x) è una primitiva di f(x) perché: F(x)=f(x) Osservazione importante: data una funzione f(x) le sue primitive sono infinite, perché Definizione: linsieme infinito delle primitive di una funzione si chiama lintegrale indefinito della funzione e si scrive:lintegrale indefinito 3 Schema

4 Claudio Cinti TABELLE DELLE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Funzione: y=f(x)Funzione derivata: y=f(x) 4 Schema

5 Claudio Cinti 5 Schema

6 Claudio Cinti 6 Schema

7 Claudio Cinti 7 Schema

8 Claudio Cinti Esempi di primitive di funzioni Ricorda che: data una funzione f(x) sai calcolare la sua funzione Derivata f(x)=. Per esempio: Pertanto la funzione derivata f(x) di una funzione f(x), se esiste, è unica: f(x) f(x) unica. Mentre: data una funzione f(x), se F(x) è una sua primitiva [F(x)=f(x)], ne esistono infinite altre: f(x) F(x)+c infinite. Esempi è una primitiva di perchè 8 Schema

9 Claudio Cinti Segue Esempi è una primitiva di perchè 9 Schema

10 Claudio Cinti INTEGRALI INDEFINITI Lintegrale indefinito di una funzione f(x) é linsieme infinito delle sue primitive F(x)+c. Si scrive : La determinazione di una primitiva,o dellintegrale indefinito, di una funzione f(x) costituisce sostanzialmente la operazione inversa della derivazione di una funzione o meglio della sua differenziazione; infatti si tratta di trovare una funzione F(x) conoscendo la sua derivata F(x)=f(x). La difficoltà nel calcolo degli integrali indefiniti consiste proprio in questo: individuare una funzione conoscendone la sua derivata. Esamineremo pertanto alcune classi di funzioni per le quali è crescente il grado di difficoltà per la determinazione dei corrispondenti integrali indefiniti. Precisamente: integrali elementari, integrali esatti o immediati, integrali quasiintegrali elementariintegrali esatti o immediatiintegrali quasi esatti. esatti. Esistono dei teoremi analoghi a quelli sulle derivate. teoremi 10 Schema

11 Claudio Cinti Integrali di funzioni elementari Teoremi o regole di integrazione indefinita 1) 2) Dalla tabella delle derivate delle funzioni elementari si ottiene la tabella degli integrali indefiniti: basta avere presente che si tratta di individuare una funzione,la primitiva,di cui si conosce la derivata. Nota: è molto importante sapere riconoscere se un integrale è elemen tare, immediato o quasi esatto, per risolverlo rapidamente e corretta= mente, senza ricorrere ai vari metodi di integrazione.metodi di integrazione. 11 Schema

12 Claudio Cinti Tabella di alcuni integrali elementari. 12 Schema

13 Claudio Cinti 13 Schema

14 Claudio Cinti 14 Schema

15 Claudio Cinti Integrali esatti o immediati Ricorda che: la tabella degli integrali elementari è stata ricavata dalla tabella delle derivate elementari. Teorema di derivazione di una funzione di funzione: Sulla base di questo teorema si può costruire una tabella di integrali, più complicati, ma esatti. Esempi: è primitiva di perché 15 Schema

16 Claudio Cinti Generalizzazione degli integrali elementari Per ciascuno dei casi della tabella degli integrali elementari, si può realizzare una generalizzazione da cui si ottiene una tabella di integrali, apparentemente complicati, ma esatti di cui si può scrivere immediatamente il risultato. La generalizzazione avviene così al posto di x si pone f(x) e al posto di dx si sostituisce f(x)dx : x f(x), dx f(x)dx. Integrali elementari Generalizzazione: integrali esatti Esempi Schema

17 Claudio Cinti Integrali elementari Generalizzazione: integrali esatti Esempi Schema

18 Claudio Cinti Integrali elementari Generalizzazione:integrali esatti Esempi Schema

19 Claudio Cinti Integrali quasi esatti Di questi integrali non si riesce (se non dopo un po di pratica), a scrivere immediatamente il risultato, perché non sono esatti. Però, ricordando in particolare il teorema: lo possono diventare. Esempi 1) infatti Ciò che si deve capire è che: lintegrale dato va moltiplicato, al suo esterno per e al suo interno per, in questo modo lintegrale diventa esatto. 2) 3) 4) 5) 6) 19 Schema

20 Claudio Cinti 7) 8) 20 Schema

21 Claudio Cinti METODI DI INTEGRAZIONE Se lintegrale che si deve risolvere non si riconosce come elementare, immediato o quasi esatto, allora si ricorre a uno dei metodi di integrazione. Infatti non esiste un metodo generale per determinare lintegrale indefinito di una qualsiasi funzione continua, ecco perché è importante sapere riconoscere gli integrali e classificarli: per scegliere la via della risoluzione. Vi sono vari metodi di integrazione: per scomposizione, per sostituzione, per parti, per leper scomposizioneper sostituzioneper parti, funzioni razionali frattefunzioni razionali fratte, per sostituzioni particolari.sostituzioni particolari 21 Schema

22 Claudio Cinti Integrazione per scomposizione Il metodo consiste nello scomporre la funzione che si deve integrare nella somma algebrica di funzioni delle quali è noto o più facile il calcolo dellintegrale indefinito. Esempi 1) 2) 3) 4) perché: 5) 6) perché: 7) 22 Schema

23 Claudio Cinti Integrazione per sostituzione o per cambiamento di variabile Qualche volta può accadere che il calcolo di un integrale diventa più semplice se si cambia la variabile di integrazione x con unaltra variabile t legata alla precedente da una relazione x=g(t) che ha la sua inversa t=h(x). Il procedimento si sviluppa attraverso i seguenti passaggi: 1)Si stabilisce la sostituzione x=g(t), [oppure t=h(x)] 2)Si calcola il differenziale della x che risulta: 3)Nellintegrale da risolvere alla x e al dx si sostituiscono le espressioni che si sono ricavate: e 4)Si calcola lintegrale che ora ha per variabile di integrazione la t 5)Al risultato dellintegrale si sostituisce ora al posto della t la sua espressione t=h(x) Osservazioni Questo metodo si rivela utile quando, attraverso la sostituzione x=g(t), lintegrale si trasforma in uno di quelli che si sanno risolvere. Si tratta sostanzialmente di una generalizzazione degli integrali quasi immediati. Non ci sono regole per stabilire quale sia la sostituzione per rendere più semplice il calcolo dellintegrale, si deve fare un po di pratica con calcoli su vari esempi. 23 Schema

24 Claudio Cinti Esempi A) Seguendo il procedimento si ottiene: 1) Sostituzione iniziale 2) Calcolo del differenziale 3) Sostituzione nellintegrale 4) Calcolo dellintegrale 5) Sostituzione nel risultato. B) C) Si procede così: Oppure anche così: 24 Schema

25 Claudio Cinti Integrazione per parti Questo metodo è utile quando la funzione integranda è costituita dal prodotto di due funzioni: Si può dimostrare la validità della seguente formula: Come si vede dalla formula, f(x) e g(x) hanno ruoli diversi: f(x) si chiama fattore finito mentre g(x) é il fattore differenziale. Per dimostrare la formula consideriamo date u(x) e v(x) continue e con derivate continue, risulta: integrando questa ultima relazione e ricordando che si ottiene Se confrontiamo con la formula iniziale risulta: u(x) è il fattore finito, dv=vdx è il fattore differenziale, é evidente che: Osservazione Nellapplicare la regola di integrazione per parti occorre prestare attenzione ai diversi ruoli che hanno il fattore finito e il fattore differenziale, in generale: si prende come fattore differenziale lespressione che è facilmente integrabile, mentre come fattore finito si assume quello che si semplifica attraverso la derivazione. Gli esempi successivi chiariscono il procedimento. 25 Schema

26 Claudio Cinti Esempi 1), assumiamo x come fattore finito e senxdx come fattore differenziale, si ottiene:.. Se avessimo assunto come fattore finito senx e come fattore differenziale xdx avremmo ottenuto:, come si vede lintegrale che si deve calcolare è più complicato di quello di partenza,ciò è dovuto alla scelta sbagliata del fattore finito e del fattore differenziale. 2):, fattore finito, fattore differenziale: 3), fattore finito, fattore differenziale: 4), fattore finito, fattore differenziale. riassumendo:, da cui si ottiene, quindi 5),assumendo cosx come fattore finito e cosxdx come fattore differenziale si ottiene: da cui si ricava 26 Schema

27 Claudio Cinti Funzioni razionali fratte 27 Schema Vi sono vari casi di integrazione di funzioni razionali fratte in corrispondenza alla composizione della frazione.

28 Claudio Cinti Sostituzioni particolari 28 Schema Si presentano numerosi tipi di sostituzioni, algebriche o goniometriche, in relazione alla funzione che si deve integrare.

29 Claudio Cinti INTEGRALI DEFINITI Introduzione Uno dei problemi che portarono allinvenzione del calcolo infinitesimale (derivazione o differenziazione e integrazione), fu quello di determinare larea di superfici a contorno curvilineo, (laltro problema fu quello di determinare la retta tangente a una curva in un suo punto). Archimede, attraverso un procedimento da lui inventato, determinò larea della superficie compresa tra un arco di parabola e lasse delle ascisse. Il metodo di Archimede considera due successioni, formate dalle somme delle aree di rettangoli inscritti e circoscritti allarco di parabola, le quali per n che tende allinfinito hanno uguale limite:tale limite comune rappresenta larea della superficie individuata dalla curva e dallasse delle ascisse. Larea della superficie sottesa allarco di parabola di equazione nellintervallo è.Con la simbologia degli integrali tale risultato si scrive così :. Generalizziamo il ragionamento fatto per la parabola: consideriamo una funzione y=f(x) definita e continua in un intervallo chiuso [a,b] e, in tale intervallo per esempio positiva; quindi dividiamo lintervallo in n parti uguali e in ognuno degli n intervalli consideriamo il massimo e il minimo della funzione che indichiamo con. A questo punto la somma rappresenta larea della somma dei rettangoli inscritti, mentre la somma rappresenta larea della soma dei rettangoli circoscritti al grafico della funzione nellintervallo [a,b]. Lampiezza di ogni intervallo è. 29 Schema

30 Claudio Cinti 29/A Risulta che: la successione e la successione per n che tende allinfinito hanno lo stesso limite e tale limite è assunto per definizione come larea della superficie individuata dallasse delle ascisse e dal grafico della funzione continua y=f(x) nellintervallo chiuso [a,b], cioè: Definizione Si chiama integrale definito della funzione continua y=f(x) nellintervallo chiuso [a,b] il limite comune delle due successioni e si scrive : Per definizione si pone : Significato geometrico: lintegrale definito fornisce larea, con segno, compresa fra il grafico della funzione y=f(x), lasse delle ascisse e le rette x=a e x=b data da : se Schema

31 Claudio Cinti 29/B Teoremi -Teorema 1. -Teorema 2. Se due funzioni continue f(x) e g(x) sono tali che per ogni allora -Teorema 3 (Teorema della media). Data la funzione y=f(x) continua nellintervallo [a,b], esiste un numero reale, tale che : -Teorema fondamentale del calcolo integrale4. Data una funzione y=f(x) continua nellintervallo [a,b] la sua funzione integrale è una sua primitiva, cioè risulta: -Teorema 5 (Formula di Newton-Leibniz). Lintegrale definito di una funzione si calcola in questo modo:, dove F(x) è una primitiva di f(x). Schema

32 Claudio Cinti 29/C Osservazioni -Lintegrale indefinito di una funzione é linsieme delle sue funzioni primitive. -Lintegrale definito di una funzione in un intervallo [a,b] è un numero reale e esprime a meno del segno larea della superficie sottesa al grafico della funzione. -La formula di Newton-Leibniz, collega il calcolo dellintegrale definito a quello delle funzioni primitive, cioè al calcolo degli integrali indefiniti. -La formula di Newton-Leibniz suggerisce il procedimento per calcolare un integrale definito,che è sostanzialmente rimandato al calcolo di integrali indefiniti ovvero al calcolo della primitiva di una funzione.calcolare un integrale definito, -Significato geometrico dellintegrale definito:se la funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] è tutta positiva o tutta negativa, lintegrale definito in detto intervallo rappresenta larea (a meno del segno), della superficie compresa fra il grafico della funzione, lasse delle ascisse e le rette x=a e x=b. -Dal significato geometrico si desume facilmente che gli integrali definiti sono un metodo per calcolare delle aree. calcolare delle aree. Funzioni integrabili Lintegrale definito è stato introdotto soltanto per funzioni continue, si può tuttavia estendere il concetto di integrale definito a un insieme di funzioni più vasto. Esempi di funzioni integrabili anche se non continue sono quelle che hanno un numero finito di punti di discontinuità e sono nellintervallo di integrazione [a,b] limitate; in questo caso basta considerare gli integrali definiti in tutti gli intervalli in cui la funzione è continua e sommarli. Schema

33 Claudio Cinti 29/D Esempi di calcolo di integrali definiti 1) Significato geometrico: 2) Significato geometrico: 3) Significato geometrico: 4) pertanto: Schema

34 Claudio Cinti 29/E 5) 6) 7) Schema

35 Claudio Cinti CALCOLO DI AREE Introduzione -Una delle applicazioni degli integrali definiti consiste nel calcolare aree a contorno curvilineo. Sappiamo giàintegrali definiti che, per una funzione continua in un intervallo [a,b] e tutta positiva (negativa) in tale intervallo, lintegrale definito è un numero reale positivo (negativo) che rappresenta larea della superficie sottesa al grafico, cioè la regione di piano limitata da: larco di grafico della funzione e le rette x=a, x=b, y=0. -Nel caso in cui la funzione f(x) nellintervallo [a,b] sia positiva e negativa intersecante per esempio in un punto x=c lasse delle ascisse, per calcolare larea della superficie sottesa dalla curva nellintervallo citato non si deve calcolare lintegrale, il cui valore non ha alcun riscontro geometrico, bensì si devono calcolare due integrali separatamente considerando il segno, così: larea della superficie sottesa A non è data dallintegrale definito si deve invece calcolare tenendo conto del segno che hanno i valori dei due integrali. 30 Schema

36 Claudio Cinti 30/A Area di una superficie compresa tra due grafici Teorema: date due funzioni continue nellintervallo [a,b] e tali che per ogni si ha, larea della superficie S compresa tra i grafici delle due funzioni e le rette x=a e x=b è: Esempi di calcolo di aree 1)Determinare larea della regione finita di piano individuata dai grafici delle funzioni: I punti intersezione delle due curve hanno ascisse: Larea richiesta,essendo le due curve simmetriche rispetto allorigine, è data da: 2)Determinare larea compresa tra: Le due curve sono tangenti in O(0,0) e si intersecano in P(2,8), larea è: Schema

37 Claudio Cinti 30/B 3) Calcolare larea delimitata dai grafici delle tre funzioni: I punti intersezione hanno coordinate: Larea è data da: 4) Calcolare larea della regione finita delimitata dalle due curve, grafici delle funzioni: I punti intersezione delle due curve sono: Larea risulta dallintegrale: Schema

38 Claudio Cinti 30/C 5) Osservazione Fino ad ora gli esempi che si sono considerati hanno riguardato casi di aree di superfici limitate; però si possono prendere in considerazione anche aree di regioni di piano illimitate. Cè da dire che una superficie illimitata può avere come area un numero reale definito, ma anche risultare infinita. Per determinare larea di superfici illimitate si calcolano degli integrali che si chiamano integrali impropri o generalizzati : il loro calcolo avviene sostanzialmente attraverso la determinazione del limite di un integrale definito. Schema


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