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A B Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere.

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Presentazione sul tema: "A B Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere."— Transcript della presentazione:

1 A B Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B.B.

2 Esempi di funzione... e B linsieme costituito da sei signore tra le quali vi siano le mamme dei ragazzi dellinsieme A: B= Anna; Maria; Valentina; Pina; Luisa; Franca. Paolo Franca (Paolo ha per madre Franca) Bruno Maria (Bruno ha per madre Maria) Carlo Anna (Carlo ha per madre Anna) Mario Franca (Mario ha per madre Franca) Questa relazione stabilisce tra i due insiemi A e B una corrispondenza e, ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno, ed uno solo, elemento del secondo insieme, perciò, la relazione determina unapplicazione o funzione da A verso B. Paolo. Bruno. Carlo. Mario. Anna. Franca. Luisa. Valentina. Pina. Maria. Sia A linsieme formato da quattro ragazzi: A= Paolo; Bruno; Carlo; Mario, Consideriamo tra gli insiemi A e B la relazione definita da …ha per madre… e supponiamo che sia: A B

3 ...Esempi di funzione Sia A linsieme dei numeri naturali pari A= 0,2,4,6,8,10,12,14,16... e B linsieme dei numeri naturali B= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, La relazione …è il doppio di… determina una corrispondenza fra gli insiemi A e B; ad ogni elemento di A corrisponde uno, ed uno solo, elemento di B, perciò, la relazione è unapplicazione o funzione da A a B.

4 Relazioni che non sono funzioni AB A B Lesempio 1 non è una funzione perché, un elemento di A non ha il corrispondente in B. Lesempio 2 non è una funzione perché, ad un elemento di A corrispondono due elementi di B. 1 2 Perché queste relazioni non sono funzioni?

5 BA Immagine e Controimmagine f x y=f(x) Per indicare che f è una funzione tra A e B scriviamo: il suo corrispondente y di B si indica con f(x) f:A B y=f(x) y è limmagine di x. controimmagine immagine Se x è un elemento di A, x è controimmagine di y. f:x f(x) x A, f(x) B

6 Dominio e Codominio Una funzione è una corrispondenza univoca tra linsieme A e linsieme B cioè, è una legge che ad ogni x A fa corrispondere un unico y B. f A B x y=f(x) f(A) Linsieme A è detto dominio della funzione. Linsieme degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A è detto insieme delle immagini o codominio della funzione. Dominio Codominio Il codominio si indica con f(A) Esercizi

7 Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche... Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione iniettiva o anche che è uniniezione, se, comunque si scelgano due elementi x 1,x 2 A, si ha Funzione iniettiva A B x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )

8 ...Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche... Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione suriettiva o anche che è una suriezione, se il codominio di f coincide con B, cioè se Funzione suriettiva A B f(A)=B.

9 … Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Se una funzione f:A B è sia iniettiva che suriettiva si dice che la funzione è biiettiva o una biiezione o una funzione biunivoca. Perciò, la funzione è biunivoca se sono verificate le condizioni: Funzione biunivoca A B x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) f(A)=B

10 Funzione costante Una funzione f:A B si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine Funzione costante A B

11 Funzioni numeriche Se gli insiemi A e B sono numerici, si parla di funzioni numeriche. Generalmente, gli insiemi numerici A e B sono sottoinsiemi dellinsieme R dei numeri reali A R, B R e i loro elementi vengono chiamati variabili. x A,y B

12 Funzioni matematiche o analitiche e funzioni empiriche Funzioni matematiche o analitiche Le funzioni matematiche sono funzioni numeriche per le quali, a partire da un x del dominio A, limmagine f(x)=y B si ottiene mediante un numero finito di operazioni matematiche; linsieme di queste operazioni dà la legge per costruire limmagine y dellelemento x considerato.

13 Funzioni empiriche Le funzioni empiriche sono funzioni numeriche e non numeriche per le quali limmagine di un elemento x non è ottenibile con una legge prefissata, bensì per mezzo di misurazioni sperimentali o di rilevazioni.

14 Classificazione delle funzioni analitiche Funzioni analitiche Funzioni algebriche Funzioni trascendenti Esponenziali Logaritmiche Goniometriche RazionaliIrrazionali IntereFratteIntereFratte

15 Insieme di esistenza Quando si considera una funzione, è essenziale specificarne il dominio. Nel caso di funzioni matematiche, il dominio D, se non è indicato, è linsieme dei valori reali che possono attribuirsi alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y. In questo caso, il dominio prende il nome di insieme di esistenza o di definizione della funzione. Linsieme di esistenza è il sottoinsieme più vasto di R che può essere preso come dominio della funzione.

16 Grafico di una funzione Data una funzione matematica di equazione y=f(x), si dice grafico della funzione linsieme di tutti e soli i punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori della variabile indipendente x appartenenti al dominio e per ordinata i valori corrispondenti della variabile dipendente y. Un punto appartiene al grafico di una funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano lequazione della funzione.

17 Funzioni uguali Due funzioni reali f e g si dicono uguali in un dominio comune D quando f(x)=g(x) x D Le funzioni non sono uguali perché non hanno lo stesso dominio. sono uguali.

18 Funzioni pari e funzioni dispari Funzione pari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice pari se, x D, f(-x)=f(x). Se una funzione y=f(x) è pari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x;f(x)) e (-x;f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto allasse delle ordinate.

19 Esempio di funzione pari

20 Funzioni pari e funzioni dispari Funzione dispari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice dispari se, x D, f(-x)=-f(x). Se una funzione è dispari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x;f(x)) e (-x;-f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto allorigine degli assi cartesiani.

21 Esempio di funzione dispari

22 Funzioni pari e funzioni dispari La funzione y=P(x) è pari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado pari. La funzione y=P(x) è dispari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado dispari. Consideriamo una funzione del tipo y=P(x) dove P(x) è un polinomio.

23 Esempio: Funzione né pari né dispari

24 Definizione di funzione numerica (Dirichlet) Una variabile reale y è funzione di una variabile reale x in un dominio D (D R), se esiste una legge f, di natura qualsiasi, che faccia corrispondere ad un qualsiasi elemento x del dominio, uno e un solo valore di y del codominio. x variabile indipendentey variabile dipendente


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