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Physics 2211: Lecture 21, Pg 1 Agenda di oggi Sistemi di Particelle Centro di massa Velocità e accelerazione del centro di massa Esempi.

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1 Physics 2211: Lecture 21, Pg 1 Agenda di oggi Sistemi di Particelle Centro di massa Velocità e accelerazione del centro di massa Esempi

2 Physics 2211: Lecture 21, Pg 2 Una barra leggera di lunghezza L=1.4 m è incernierata ad un estremo ed ha una palla di massa =0.82 kg allaltro estremo. Quando la sbarra si trova in posizione orizzontale, la palla si muove con velocità di 6.8 m/s. Qualè lintensità della forza esercitata dalla barra sulla palla quando si porta nella sua posizione più alta? V=6.8 m/s L (1)11 N alto (2) 11 N basso (3) 5 N alto (4) 5 N basso (3) 5 N alto (4) 5 N basso (5) 3 N alto (6) 3 N basso

3 Physics 2211: Lecture 21, Pg 3 Una scatola (M=6kg), inizialmente ferma, è spinta sù lungo una parete verticale priva di attrito da una forza di intensità P. Quando la scatola è 0.5 m sopra la sua posizione iniziale, si muove con una velocità di 2 m/s. Quanto lavoro deve essere fatto sul blocco dalla forza P? ( = 32 °) (1)29 J (2) 41 J (3) 12 J (4) 55 J (3) 12 J (4) 55 J (5) 8 J (6) 15 J P M

4 Physics 2211: Lecture 21, Pg 4 Sistema di particelle Fino ad ora abbiamo considerato il comportamento di sistemi molto semplici (una o due masse). Ma la vita reale è usualmente molto più interessante! Per esempio, consideriamo un semplice disco rotante. Un oggetto solido esteso (come un disco) può essre pensato come un insieme di parti. Il moto di ciascuna piccola parte dipende dalla posizione nelloggetto!

5 Physics 2211: Lecture 21, Pg 5 Sistema di Particelle: Centro di Massa Come descriviamo la posizione di un sistema fatto da molti parti? Centro di Massa Definiamo il Centro di Massa (posizione media): Per una raccolta di N particelle individuali puntuali di cui sono note posizioni e masse: y x rr1rr1 m1m1 rr3rr3 rr2rr2 rr4rr4 m4m4 m2m2 m3m3 R R CM (In questo caso, N = 4)

6 Physics 2211: Lecture 21, Pg 6 Sistema di Particelle: Centro di Massa Se il sistema è costituito soltanto da due particelle : y x rr2rr2 rr1rr1 m1m1 m2m2 R R CM r r r 2 - r 1 dove M = m 1 + m 2 Così:

7 Physics 2211: Lecture 21, Pg 7 Sistema di Particelle: Centro di Massa Se il sistema è costituito soltanto da due particelle : y x rr2rr2 rr1rr1 m1m1 m2m2 R R CM r r r 2 - r 1 dove M = m 1 + m 2 + se m 1 = m 2 il CM è posto a metà fra le masse

8 Physics 2211: Lecture 21, Pg 8 Sistema di Particelle: Centro di Massa Se il sistema è costituito soltanto da due particelle : y x rr2rr2 rr1rr1 m1m1 m2m2 R R CM r r r 2 - r 1 dove M = m 1 + m 2 + se m 1 = 3m 2 Il CM è ora più vicino alla massa più leggera.

9 Physics 2211: Lecture 21, Pg 9 Sistema di Particelle: Centro di Massa Il centro di massa si trova dove il sistema è in equilibrio! La costruzione di una bilancia è un esercizio per trovare i centri massa. m1m1 m2m2 + m1m1 m2m2 +

10 Physics 2211: Lecture 21, Pg 10 Sistema di Particelle: Centro di Massa R Possiamo considerare le componenti di R CM separatamente: y x rr1rr1 m1m1 rr3rr3 rr2rr2 rr4rr4 m4m4 m2m2 m3m3 R R CM (In questo caso, N = 4)

11 Physics 2211: Lecture 21, Pg 11 Esempi di Calcolo: Consideriamo la seguente distribuzione di massa : (24,0) (0,0) (12,12) m 2m m R CM = (12,6)

12 Physics 2211: Lecture 21, Pg 12 R rr CM dm M Sistema di Particelle: Centro di Massa Per un solido continuo, facciamo un integrale. y x dm r Dove dm è un elemento di massa infinitesimale.

13 Physics 2211: Lecture 21, Pg 13 Sistema di Particelle: Centro di Massa Troviamo che il Centro di Massa è al centrondelloggetto. y x R R CM

14 Physics 2211: Lecture 21, Pg 14 Sistema di Particelle: Centro di Massa La posizione del centro di massa è una proprietà intrinseca delloggetto!! (non dipende da dove scegliamo lorigine o le coordinate per il calcolo) y x R R CM Troviamo che il Centro di Massa è al centro delloggetto.

15 Physics 2211: Lecture 21, Pg 15 Sistema di Particelle: Centro di Massa Possiamo usare lintuizione per trovare la posizione del centro di massa per oggetti simmetrici che hanni densità uniforme: Sarà semplicemente il centro geometrico! + CM

16 Physics 2211: Lecture 21, Pg 16 Sistema di Particelle: Centro di Massa Il centro di massa per una combinazione di oggetti è la media della posizione dei centri di massa degli oggetti : + + y x RR2RR2 RR1RR1 R R CM m1m1 m2m2 + R R R 2 - R 1 Così se abbiamo due oggetti :

17 Physics 2211: Lecture 21, Pg 17 Centro di Massa Il disco mostrato sotto (A) ha chiaramente il suo CM al centro. Supponiamo di tagliare il disco a metà e di sistemare le due metà come mostrare in (B): Dove è il CM di (B) confrontato con (A)? (1) (2) (3) (1) Più alto (2) Più basso (3) Lo stesso (A)(B) X CM

18 Physics 2211: Lecture 21, Pg 18 Il CM di ciacuna metà del disco srà più vicina alla parte piatta che alla parte tonda.(Pensare a dove si trova lequilibrio). (A)(B) X X l Il CM delloggetto composto sarà a metà fra i CM delle due metà. X X CM l Questo è più alto del CM del disco

19 Physics 2211: Lecture 21, Pg 19 Sistema di Particelle: Centro di Massa Il centro di massa (CM) di un oggetto si trova nel punto in cui possiamo incernierare liberamente quellogetto. La Gravità agisce sul CM di un oggetto Se incerneriamo loggetto, esso si orienterà in modo che il CM sia direttamente al di sotto del punto di incernieramento. Questo fatto può essere usato per trovare il CM di oggetti irregolari. + CM pivot + CM pivot + CM mg

20 Physics 2211: Lecture 21, Pg 20 Sistema di Particelle: Centro di Massa Appendiamo loggetto per diversi punti di sospensione e vediamo dove si intersecano le linee verticali tracciate per ciascun punto di sospensione. pivot + CM l Il punto di intersezione deve essere al CM.

21 Physics 2211: Lecture 21, Pg 21 Velocità e Accelerazione del Centro di Massa r Se le sue particelle si muovono, si può muovere anche il CM del sistema. Supponiamo di conoscere la posizione r i di ogni particella nel sistema in funzione del tempo. Così: e: l La velocità e laccelerazione del CM è la media pesata della velocità e dellaccelerazione di tutte le particelle.

22 Physics 2211: Lecture 21, Pg 22 Centro di Massa e II Legge di Newton La II legge di Newton applicata al moto del CM : Questa ha interessanti implicazioni: Ci dice che il CM di un corpo esteso si comporta come un semplice punto materiale sotto lazione di una forza esterna: FA Possiamo usarla per correlare F e A come siamo soliti fare.

23 Physics 2211: Lecture 21, Pg 23 Recapitolazione della lezione di oggi Sistemi di particelle Centro di massa Velocità e acelerazione del centro di massa Dinamica del centro di massa


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